главная наука только эта страница

Осциллятор Ван-дер-Поля и Ван-дер-Поля - Дуффинга

атлас
след. - неавтономный генератор с жестким возбуждением
пред. - осциллятор Уеды

Система Ван-дер-Поля – является «эталонной» моделью теории колебаний и нелинейной динамики, описывающую автоколебания и простейший вариант бифуркации Андронова-Хопфа. При наличии внешнего гармонического воздействия эта система описывается следующим уравнением:

Здесь l – управляющий параметр, w – частота внешнего сигнала, b – его амплитуда. При l=0 в автономной системе имеет место бифуркация Андронова-Хопфа: при отрицательных значениях l единственная неподвижная точка устойчива, а при положительных значениях l – неустойчива и окружена устойчивым предельным циклом, являющимся геометрическим образом автоколебаний в фазовом пространстве.

Явление синхронизации в системе Ван-дер-Поля с внешним воздействием привлекает внимание исследователей, начиная с пионерских работ первой половины XX века (Эпплтон, Ван-дер-Поль, Андронов, Витт, Мандельштам, Папалекси и др.) до нашего времени.

Карта динамических режимов системы Ван-дер-Поля с гармоническим внешним воздействием на плоскости частота – амплитуда воздействия для l=3 показана на рисунке.

Она демонстрирует характерную картину языков синхронизации (языков Арнольда). Однако внутреннее устройство этих языков иное, чем у стандартного синус-отображения окружности.

Модель Ван-дер-Поля - Дуффинга в присутствии периодического внешнего воздействия описывается уравнением

В этом уравнении представлен дополнительный член с кубической нелинейностью, включенный по аналогии с осциллятором Дуффинга. Эта нелинейность, характеризуемая параметром b отвечает за новый эффект в автономной системе – неизохронность колебаний, т.е. зависимость их периода от амплитуды. Принципиальное значение системы Ван-дер-Поля - Дуффинга состоит в том, что в рамках укороченных уравнений (полученных методом медленно меняющихся амплитуд) она приводит к полной нормальной форме бифуркации Андронова-Хопфа. В ней скорость изменения фазы зависит от квадрата амплитуды колебаний с коэффициентом пропорциональным b. Поэтому b можно назвать параметром неизохронности или параметром фазовой нелинейности.

На следующем рисунке показана карта режимов неавтономной системы Ван-дер-Поля - Дуффинга для l=1 при достаточно большом значении параметра b=2.5. Можно видеть, что по сравнению с предыдущей картой острия языков синхронизации существенно сдвинулись вдоль оси абсцисс в сторону больших частот, что является проявлением неизохронности системы. Система языков, расположенная между областями периода 1 и 2 обладает выраженной характерной внутренней структурой с переходом к хаосу через удвоения периода (выделенный фрагмент карты). Она качественно похожа на картину, даваемую стандартным синус-отображением окружности.

Отметим, что система Ван-дер-Поля - Дуффинга продолжает привлекать внимание исследователей (например, полная картина бифуркаций в укороченной системе установлена только в самом конце XX века).

главная наука атлас только эта страница в начало