Квантование отображения "кот Арнольда" для четных значений квантового параметра

Как отмечалось, конструируя операторное отображение, мы сталкиваемся с выбором - положить K'=KA или AK. Обе формы совместимы с классическим отображением кота Арнольда, но неэквивалентны в силу некоммутативности операторов и отличаются на множитель a, поскольку KA=aAK. Выберем "промежуточный" вариант K'=a1/2KA=a-1/2AK. Для второго уравнения сохраняем симметризованную форму: A'=AKA.

Подставим выражения для матричных элементов Kmn=dm+1,n и Amn=amdmn в операторное отображение K'=a1/2KA, A'=AKA и вычислим произведения матриц. В результате имеем K'mn=dm+1,nan-1/2, A'mn=am+ndm,n-1.

Перейдем в представление Шредингера и найдем вид оператора эволюции U. Поскольку должно быть UK'=KU, получаем Um,n-1an-1/2=Um+1,n. Аналогично, условие UA'=AU дает Um,n-1a2n-m-1=Umn. Из первого выражения для диагональных элементов получаем Um+1,m+1=Ummam+1/2, так что

Далее, с помощью второго выражения находим

.

Нетрудно убедиться, что полученное выражение для Umn имеет период N по обоим индексам. Выберем элемент U00=N -1/2e-ip/4. Тогда |DetU|=1, а след оказывается действительным положительным числом. Окончательно получаем

Хостинг от uCoz