Как известно, при квантовом описании одномерного движения частицы волновая функция в координатном представлении y(x) и в импульсном представлении j(p) связаны прямым и обратным преобразованием Фурье:

где h - постоянная Планка. Пусть теперь функция y(x) имеет период L_x, а функция j (p) - период L_p. Из периодичности y(x) следует, что ее фурье-образ j(p) представляет собой "гребенку" из d-функций, расположенных на оси волновых чисел в точках 2pn/L_x, т.е. с шагом по импульсу D p=h/L_x. Поскольку функция j(p) тоже периодична, ее период L_p обязан содержать целое число шагов: L_p/Dp=N. Подставляя сюда выражение для p, получаем L_xL_p=hN, где N - целое.

Отсюда следует, что в импульсном представлении волновая функция полностью определяется заданием N комплексных коэффициентов j_k - множителей при d-пиках.

Аналогичное рассуждение можно провести и в обратном порядке: из периодичности j (p) следует, что функция y (x) есть "гребенка" из d-функций, расположенных на оси x в точках x=hm/L_p т.е. с шагом Dx=h/L_p. Так как функция y(x) обязана иметь период L_x, должно быть L_x/D x=N, и мы вновь приходим к соотношению L_xL_p=hN. Итак, в координатном представлении волновая функция тоже полностью определяется заданием N комплексных коэффициентов y_m, m=0,1,...N-1.

Таким образом,

1) гильбертово пространство состояний нашей системы есть конечномерное пространство комплексных векторов размерности N.

2) На параметры задачи, при которых возможно непротиворечивое квантовое описание системы с динамикой на торе, наложены ограничения, выражаемые формулой L_xL_p=hN.

Как известно, в основу построения квантовой механики закладывается требование, чтобы при h®0 имело место соответствие с классической теорией. В задаче о динамике на торе, будучи не вправе трактовать h как непрерывную переменную, мы можем рассматривать предельный переход на дискретном множестве значений, разрешенных формулой L_xL_p=hN. В этом смысле классическому пределу отвечает N®¥.

Говоря о координатном представлении, мы теперь будем иметь в виду просто N-мерный вектор y_m, а говоря об импульсном представлении - вектор j_k. Подставляя выражение для волновой функции в формулу преобразованеия Фурье, легко убедиться, что оба набора чисел y_m и j_k связаны дискретным преобразованием Фурье:

Здесь введено обозначение a=exp(2pi/N), которое будет использоваться и далее. Для операторов прямого и обратного преобразования Фурье примем символы F и F⁺. Эти операторы представляются матрицами размера NxN, элементы которых F_mn=a^-mn/N^1/2, F⁺_mn=a^mn/N^1/2.

Если периоды L_x и L_p принять за единицу то y(x) и j(p) имеют вид гребенки из d-функций с одинаковым шагом 1/N, тогда квантовая постоянная подчинена условию h=1/N.

В распространенной системе обозначений Дирака вектор-столбец называется кет-вектор и обозначается |a>, где a - какой-либо символ, помечающий данное состояние. Сопряженный вектор-строка называется бра-вектор и обозначается <b|, а их скалярное произведение ("полная скобка" - bracket) есть <b|a>. В нашем случае это векторы, имеющие N компонент:

|a>={a₀, a₁,...a_N-1}^T, <b|={b₀, b₁,...b_N-1}, и при этом <b|a>=b*₀a₀+b*₁a₁+...+b*_N-1a_N-1.