Множество Мандельброта

Множество Мандельброта - один из самых знаменитых объектов в нелинейной динамике. Рассмотрим последовательность комплексных чисел zn, заданную рекуррентным соотношением

где c – комплексный параметр, с начальным условием z0=0. При малых с последовательность будет оставаться ограниченной, а при больших – убегать на бесконечность.

Множество значений с на комплексной плоскости, при которых последовательность zn остается ограниченной, и есть множество Мандельброта.

Оно названо по имени математика Б.Мандельброта, автора книги “Фрактальная геометрия природы”. В 1985 г. А.К.Дьюдни, ведущий раздел занимательной науки журнала “Scientific American”, опубликовал заметку о множестве Мандельброта, после чего оно стало необычайно известным и популярным. Например, его использовал в качестве эмблемы фонд Сороса.

Множество Мандельброта, как пример фрактала

Фракталами называют множества, демонстрирующие на разных масштабах разрешения своей геометрической структуры свойства подобия в строгом или приближенном смысле, а также объекты в природе, обладающие такими свойствами хотя бы приближенно, в достаточно большом интервале масштабов.

Множество Мандельброта – один из самых известных примеров фракталов. На рисунке внизу показана серия изображений этого множества с разрешением возрастающим от кадра к кадру.

Динамика комплексных аналитических отображений

Фрактал Мандельброта – лишь один из замечательных объектов, исследуемых в рамках красивого раздела нелинейной науки – динамики комплексных аналитических отображений. На плоскости комплексной переменной z при каждом данном значении параметра c имеется множество точек, при старте из которых не происходит ухода на бесконечность; границей этого множества (как правило, фрактальной) сложит множество Жюлиа (см. диаграммы по периферии рисунка внизу).

Интересный вопрос состоит в том, имеют ли отношение эти порожденные абстрактной математикой объекты к динамике реальных физических систем?

Динамику физических систем чаще всего описывают дифференциальными уравнениями. Переход к отображениям осуществляется методом сечения Пуанкаре. Если фазовое пространство трехмерное, то это построение приводит к двумерному отображению Пуанкаре. Это иллюстрируется приведенными ниже двумя рисунками, первый из которых относится к автономной системе третьего порядка, а второй – к неавтономной системе второго порядка (например, осциллятор с внешним периодическим воздействием).

Если мы берем комплексное аналитическое отображение zn+1=f(zn) и отделяем в нем действительные и мнимые части, то приходим к двумерному отображению в области действительных чисел

Оно принадлежит очень специальному классу отображений, удовлетворяющих условиям Коши-Римана

Можно ли придумать такую физическую систему, чтобы отображение Пуанкаре для нее относилось к классу отображений, удовлетворяющих условию Коши-Римана? (Да еще сделать так, чтобы это было квадратичное отображение, для которого получается множество Мандельброта, или хотя бы близкое к нему.) Для системы с трехмерным фазовым пространством это невозможно. А в большей размерности? По-видимому, проблема нетривиальна, ибо очень уж специальными свойствами должно обладать отображение!

[Одна из попыток построить физическую систему интересующего нас типа рассмотрена в работе:
C.Beck. Physical meaning for Mandelbrot and Julia sets. Physica D125, 1999, 171.]

Связь с удвоениями периода

Известно, что наличие в комплексной плоскости множества Мандельброта соответствует тому, что на действительной оси при изменении параметра реализуется последовательность бифуркаций удвоений периода (см. рис.).

Удвоения периода - это универсальный сценарий перехода к хаосу, который встречается в огромном количестве нелинейных диссипативных систем. Примером может служить осциллятор с диссипацией и квадратичной нелинейностью, возбуждаемый внешней периодической силой:

На рисунке внизу показаны фазовые портреты, полученные при g=0.2, F=0.23 для нескольких значений параметра l.

Идея состоит в том, чтобы использовать такого рода объекты как строительные блоки, "кирпичики", для конструирования системы, которая демонстрировала бы феномены комплексной аналитической динамики. Поясним ее сначала на примере квадратичного отображения.

От комплексного отображения к связанным системам

В комплексном уравнении

положим z=x+iy, l=l'+il" и отделим действительную и мнимую части:

Далее, введем новые переменные x=x+by, h=x-by и параметры l1=l'+il", l2=l'-il", e=(1+b2)/4b2 и получим

Это два связанных действительных отображения со специфическим типом связи. На следующем рисунке показано, как выглядят области различных режимов на плоскости параметров (l1, l2) при нескольких значениях параметра связи e. При e>0.25 область финитных движений в точности соответствует повернутому и (вообще говоря) деформированному множеству Мандельброта.

e =0.5

e =0.3

e =0.25

e =0.1

Основной рецепт

Чтобы построить физическую систему, в которой, как в комплексном квадратичном отображении, реализовались бы множества, аналогичные множествам Мандельброта и Жюлиа, нужно взять две системы, демонстрирующие переход к хаосу через удвоения периода, и ввести надлежащим образом подобранную связь.

Как определить вид связи? Сначала возьмите уравнения одной системы и считайте динамические переменные комплексными. Также комплексным нужно положить параметр, отвечающий за удвоения периода. Далее, отделите действительную и мнимую часть и введите симметричную и антисимметричную переменные. Получатся уравнения двух связанных систем требуемого вида.

Пример № 1. Связанные отображения Эно (Hénon map)

В уравнении

положим z=x+iy, l=l'+il". Тогда

Пусть, далее, x=x+by, h=x-by и l1=l'+bl", l2=l'-bl", e=(1+b2)/4b2. В результате получаем

На рисунке показан вид области финитных движений в такой системе для e=0.5 при разных знечениях b. Хотя по виду они отличаются от множества Мандельброта, это явно "кактусы" аналогичной "породы" (характерно присутствие иерархии лепестков, "антенн" и т.п.).

Пример № 2. Связанные осцилляторы с квадратичной нелинейностью, возбуждаемые внешней периодической силой

В уравнении

положим z=x+iy, l=l'+il". Тогда

Полагая x=x+by, h=x-by и l1=l'+bl", l2=l'-bl", e=(1+b2)/4b2, получаем

На рисунке показан вид области финитных движений для системы связанных квадратичных осцилляторов при e=0.5, g=0.2, F=0.23.

Первое наблюдение множества Мандельброта в физическом эксперименте

O.B.Isaeva, S.P.Kuznetsov, V.I.Ponomarenko. Mandelbrot Set in Coupled Logistic Maps and in Electronic Experiment. Phys.Rev E64, No 5, 2001, 055201.

На рисунке показана схема аналогового устройства, моделирующего динамику логистического отображения. Пунктиром обозначены ячейки выборки-хранения, каждая из которых содержит ключ K1,2 операционный усилитель A1,2 и конденсатор C1,2. Ключи управляются двумя последовательностями неперекрывающихся прямоугольных импульсов. Умножитель N обеспечивает нелинейность. Переменное сопротивление R~, подключенное через усилитель L позволяет варьировать параметр l.

В эксперименте используется ДВЕ таких связанных подсистемы, причем связь такова, что обеспечивает в каждый момент добавку к параметру l, пропорциональную (x–y)2.

На рисунке показан вид плоскости параметров, полученной в эксперименте при двух значениях параметра связи. На первой диаграмме прекрасно видно множество Мандельброта, разумеется с ограниченным разрешением его тонкой структуры. На второй диаграмме можно видеть конфигурацию областей аналогичную той, какая реализуется в связанных отображениях при малом параметре связи.

Саратовская группа
теоретической нелинейной
динамики

Хостинг от uCoz