Для проведения РГ анализа начнем с того, что рассмотрим отображение

где

Применим это отображение дважды. Полагая параметр интенсивности шума k малым, в первом порядке малости по этому параметру получаем:

Фигурирующее в квадратных скобках выражение будем интерпретировать как новую случайную величину, обозначив ее U₁(x)x'_n. При этом множитель U₁(x) подберем так, чтобы величина x'_n обладала таким же среднеквадратичным отклонением s, как и x_n.

Поскольку x_n и x_n+1 статистически независимы, среднеквадратичные значения обоих членов суммы просто складываются. Отсюда следует, что

Итак, уравнение для двукратной итерации мы свели к такому же виду, как исходное,

но с новыми функциями

Описанную процедуру можно применить многократно, что дает последовательность функций g_k, U_k, удовлетворяющих цепочке рекуррентных функциональных уравнений

Согласно теории Фейгенбаума, последовательность g_k сходится к пределу - функции g, представляющей собой неподвижную точку функционального уравнения Фейгенбаума – Цвитановича

так что, рассматривая поведение решения второго уравнения при больших k, в него можно подставить g вместо g_k. Если искать решение в виде

то приходим к задаче на собственные функции и собственные значения

Ее можно решить численно, если известна функция g и константа a. Решение с наибольшим собственным числом отвечает g=6.619036513 и собственной функции, показанной на рисунке.