В применении ко всем ситуациям квазипериодического движения с числом вращения золотое среднее,
главная идея РГ анализа состоит в исследовании операторов эволюции,
определенных для интервалов времени, заданных последовательными числами Фибоначчи:
где xn - последовательность статистически
независимых случайных величин с нулевым средним и фиксированным среднеквадратичным значением
s, e - параметр,
характеризующий интенсивность шума, который считается малым,
yn(x) и
yn+1(x) -
вспомогательные функции.
Ясно, что отображение окружности можно рассматривать как частный случай:
при
Применяя последовательно отображения, отвечающие
где учтены члены первого порядка по амплитуде шума
e.
Переопределим стохастический член. Предположим, что в некоторый момент
орбита стартует из точки xi. Рассмотрим ансамбль случайных чисел
{xi, xi+Fk+1} со средним, равным нулю,
и дисперсией s2
и составим из них сумму с коэффициентами, заданными функциями xi.
Поскольку пары {xi, xi+Fk+1}
статистически независимы, сумма может быть представлена опять же как
случайное число с нулевым средним и дисперсией s2,
умноженное на функцию xi, а именно
Введем
fk+2(x)=
fk(fk+1(x))
и перепишем уравнение в форме, аналогичной исходной, с переопределенной
случайной переменной и функциями f и y :
Чтобы получить замкнутую систему функциональных уравнений,
возведем обе части полученного уравнения в квадрат и выполним
усреднение по ансамблю реализаций с шумом. Поскольку
приходим к соотношению
Следуя основной идее ренормгруппового подхода, произведем пересчет масштаба,
x-->x/ak, где
приведенные выше уравнения означают, что
Эти отношения определяют ренормпреобразование для набора функций
{gk, fk, Yk, Fk}. Процедура может быть повторена снова и снова, чтобы получить функции для все больших
k, то есть определить перенормированные операторы эволюции
на интервалах, заданных количеством шагов дискретного времени Fk.
Известно, что в критической точке GM последовательность функций
gk, fk сходится к неподвижной точке ренормпреобразования,
определяемой уравнениями
или
Сходимость функций gk, fk к решению в виде
неподвижной точки РГ преобразования подразумевает, что рекурсивные линейные функциональные уравнения для функциональных пар
{Yk, Fk}
в асимптотике будут определяться собственным вектором, связанным с наибольшим
собственным значением W для следующей задачи на собственные значения
Численное решение этой задачи приводит к результату
W=5.31849047771...
Теперь в линейном приближении по отношению к амплитуде шума, стохастическое отображение,
отвечающее Fk и Fk+1 шагам эволюции
в критической точке GM может быть записано в ренормализованных переменных как
где
g=W1/2=2.30618526526.
Учитывая дополнительно возмущения оператора эволюции, вызванные смещением по параметрам из критической точки, отсюда можно вывести формулировку закона подобия, приведенную в основном тексте.