РГ анализ действия шума при переходе к хаосу через квазипериодический режим с отношением частот "золотое среднее"

В применении ко всем ситуациям квазипериодического движения с числом вращения золотое среднее, главная идея РГ анализа состоит в исследовании операторов эволюции, определенных для интервалов времени, заданных последовательными числами Фибоначчи: Fk+1=Fk+Fk-1, F0=0, F1=1. Предположим, что в присутствии шума эволюция динамической переменной x в точке GM для Fk и Fk+1 задается уравнениями

где xn - последовательность статистически независимых случайных величин с нулевым средним и фиксированным среднеквадратичным значением s, e - параметр, характеризующий интенсивность шума, который считается малым, yn(x) и yn+1(x) - вспомогательные функции. Ясно, что отображение окружности можно рассматривать как частный случай: при F1=F2=1 полагаем

Применяя последовательно отображения, отвечающие Fk+1 и Fk шагам, получаем для числа шагов Fk+2 стохастическое отображение

где учтены члены первого порядка по амплитуде шума e.

Переопределим стохастический член. Предположим, что в некоторый момент орбита стартует из точки xi. Рассмотрим ансамбль случайных чисел {xi, xi+Fk+1} со средним, равным нулю, и дисперсией s2 и составим из них сумму с коэффициентами, заданными функциями xi. Поскольку пары {xi, xi+Fk+1} статистически независимы, сумма может быть представлена опять же как случайное число с нулевым средним и дисперсией s2, умноженное на функцию xi, а именно

Введем fk+2(x)= fk(fk+1(x)) и перепишем уравнение в форме, аналогичной исходной, с переопределенной случайной переменной и функциями f и y :

Чтобы получить замкнутую систему функциональных уравнений, возведем обе части полученного уравнения в квадрат и выполним усреднение по ансамблю реализаций с шумом. Поскольку

приходим к соотношению

Следуя основной идее ренормгруппового подхода, произведем пересчет масштаба, x-->x/ak, где a=-1.288574553... - известная универсальная константа для критической точки GM. Тогда в терминах функций переопределенных с изменением масштаба:

приведенные выше уравнения означают, что

Эти отношения определяют ренормпреобразование для набора функций {gk, fk, Yk, Fk}. Процедура может быть повторена снова и снова, чтобы получить функции для все больших k, то есть определить перенормированные операторы эволюции на интервалах, заданных количеством шагов дискретного времени Fk.

Известно, что в критической точке GM последовательность функций gk, fk сходится к неподвижной точке ренормпреобразования, определяемой уравнениями

или

Сходимость функций gk, fk к решению в виде неподвижной точки РГ преобразования подразумевает, что рекурсивные линейные функциональные уравнения для функциональных пар {Yk, Fk} в асимптотике будут определяться собственным вектором, связанным с наибольшим собственным значением W для следующей задачи на собственные значения

Численное решение этой задачи приводит к результату W=5.31849047771... Теперь в линейном приближении по отношению к амплитуде шума, стохастическое отображение, отвечающее Fk и Fk+1 шагам эволюции в критической точке GM может быть записано в ренормализованных переменных как

где g=W1/2=2.30618526526. Учитывая дополнительно возмущения оператора эволюции, вызванные смещением по параметрам из критической точки, отсюда можно вывести формулировку закона подобия, приведенную в основном тексте.