Работа исследователя существенно отличается от обучения и преподавания, ведь она состоит в том, чтобы получать новые, а не передавать уже известные знания. Поэтому исследовательская работа - это особая, уникальная профессия. Предлагаем Вам попробовать себя в этой профессии. Для этого Вашу вниманию предлагается несколько задач-проблем исследовательского характера. Особенность этих задач в том, что они не имеют строго определенных решений - каждая из них допускает множество подходов и дальнейшее развитие. "Арсенал" Вашего исследования не фиксирован. Используйте теоретические соображения, эксперименты, компьютерное моделирование, по своим интересам и возможностям - в тексте даются лишь отдельные советы. Обсуждайте Вашу задачу с другими учениками. Используйте литературу, возможности сети Интернет - для решения некоторых задач это полезно, а решение некоторых из них без этого и невозможно. Для некоторых задач даны решения, подготовленные учащимися школ - сотрудниками Интернет-лаборатории.

Свои решения Вы можете прислать Савину Алексею Владимировичу. Наиболее удачные из них будут помещены на странице лаборатории. Ваше решение пройдет рецензирование, и Вы сможете получить статус сотрудника Интернет-лаборатории.

Не менее интересно чем решить, а, пожалуй, и более сложно, самому придумать задачу. Вы можете прислать свою задачу, она также пройдет рецензирование, и будет предложена для решения с указанием автора.

Мы будем благодарны и коллегам, научным сотрудникам “старшего возраста”, если они предложат задачи или темы для исследований.

Кузнецов Александр Петрович, профессор, доктор

Кузнецов Сергей Петрович, профессор, доктор

1. Оптические каустики в цилиндрической чашке.
   В цилиндрическом сосуде (например, в чашке с молоком) можно наблюдать яркую линию с еще более ярким острием. Эта линия - каустика - представляет собой огибающую световых лучей, отраженных от цилиндрической поверхности. Проведите теоретическое, экспериментальное и компьютерное исследование такой каустики.
   Решение (Анастасия Подосинникова, СШ № 70 г.Саратова).
2. Искажение поверхности океана. П.Л. Капица предложил такую задачу: над поверхностью океана помещена материальная точка массы m. Точка располагается на высоте h над невозмущенным уровнем океана. Исследуйте вид возмущенной поверхности воды. Постройте соответствующие "профили" на компьютере. Все ли возможные конфигурации в такой системе можно наблюдать в реалистичных условиях на Земле? Рассмотрите возможные модификации этой задачи, например, случай двух материальных точек и др.
3. Задачи Капицы. Найдите (в библиотеке, в Интернете) подборку задач Капицы и решите одну из них, которая Вам больше всего понравилась.
4. Цепочка. Говорят, что цепочка, подвешенная за концы, принимает форму цепной линии. Проверьте это утверждение.
5. Динамка популяции. Одной из известных моделей динамики популяции служит так называемое логистическое отображение . Здесь - нормированная численность популяции в n-ом году, а - параметр, управляющий скоростью роста популяции. Изучите, как зависит численность популяции год от года при различных фиксированных параметрах . Обязательно используйте компьютер.
6. Математический ряд и физический эксперимент. Если положить на один кирпич сверху второй, то его можно сдвинуть на расстояние x_l=l/2 (рисунок). На какое расстояние x₂ можно сдвинуть третий кирпич? Получите соответствующую последовательность x_n. Чему равна длина такой бесконечной стенки? Попробуйте экспериментально реализовать соответствующую ситуацию. (Рекомендуем использовать костяшки домино, спичечные коробки и др.) Обсудите результаты эксперимента и их соответствие с теорией. Попробуйте в эксперименте реализовать другую стратегию, нацеленную на получение длинной стенки. Стенку какой длины Вам удастся создать?
7. Падающее домино.Составим из костей домино цепочку, поставив их на меньшую грань на равном расстоянии друг от друга. Если толкнуть первую кость, то, падая, она толкнет вторую и т.д. Исследуйте процесс распространения такой “волны” в этой системе. В частности, определите, зависит ли (и если да, то как) время падения всей цепочки от расстояния между костями, количества костей, силы толчка первой кости, других параметров. Проведите эксперимент. Попробуйте сделать теоретический расчет и сравнить результаты. Примечания: 1. Лучше использовать детское домино (с костями большого размера). 2. Для измерения времени, скорее всего, понадобится более точный прибор, чем часы с секундной стрелкой.
8. Разрыв мыльной пленки. Имеются два проволочных кольца радиуса R . При каких значениях отношения расстояния между кольцами h и радиуса R может существовать мыльная пленка, натянутая одновременно на оба кольца? Что произойдет с мыльной пленкой, если постепенно увеличивать h? Попробуйте определить ширину «перешейка» в момент разрыва. Проведите теоретическое рассмотрение задачи. Проделайте соответствующие эксперименты. Эксперименты проделайте с кольцами разных радиусов. Рассмотрите затем случай колец разного радиуса R и r. Результаты экспериментов в этом случае представьте на плоскости параметров R/r и h /R.
9. Тени на дне водоема. Исследуйте экспериментально тени на дне водоема, отбрасываемые различными предметами (для экспериментов используйте небольшой сосуд и лампу). Изучите тени от вырезанных из картона дисков, карандаша и др. Изучите также тени от плавающего лезвия. Исследуйте тени, возникающие при движении предметов, например, карандаша, возмущающего воду. Попробуйте фотографировать тени и световые пятна на дне. Объясните результаты Ваших экспериментов.
10. Изохронный маятник. Гюйгенс показал, что материальная точка, скользящая по циклоиде совершает изохронные колебания, т.е. колебания, период которых не зависит от амплитуды. Изготовьте циклоиду из жести и изучите колебания шарика, катающегося по циклоиде. Изготовьте и изучите маятник с направляющими в виде циклоиды. Предварительно ознакомьтесь со статьей "Циклоидальные часы Гюйгенса" (см. http://old.rcd.ru/em/contents/v00-2_r.html).
11. Маятник с переменной массой. Изготовьте маятник из сосуда, в который можно наливать виду (например, бутылки). Изучите зависимость периода колебаний маятника от массы налитой в бутылку воды. Попробуйте построить такой график теоретически. Сначала, считая маятник математическим с длиной, равной расстоянию до центра масс системы, затем - физическим. Сравните результаты двух теорий и эксперимента.
12. Компьютерная реализация принципа Гюйгенса. Принцип Гюйгенса состоит в том, что волновой фронт, испущенный поверхностью, можно найти как огибающую множества сферических (круговых на плоскости) фронтов, испущенных каждой точкой излучающей поверхности. Реализуйте компьютерную иллюстрацию принципа Гюйгенса для эллипса. Попробуйте реализовать компьютерную мультипликацию распространяющегося фронта. Обсудите его форму. Попробуйте в качестве излучающей поверхности другие гладкие кривые.
13. Диссипативная модель Улама. Американский математик Станислав Улам для описания ускорения Ферми предложил механическую модель, показанную на рисунке. Все удары упругие, стенка колеблется по гармоническому закону. Смещением вибрирующей стенки пренебрегают. Получите отображение для диссипативной модели Улам. Рассмотрите три случая: когда при ударе о вибрирующую стенку теряется доля скорости r, а удар о неподвижную стенку упругий, наоборот, удар упругий лишь о вибрирующую стенку, наконец, все удары упругие, но есть сопротивление среды, пропорциональное скорости шарика с коэффициентом k. Постройте карты режимов, характерные фазовые портреты, бифуркационные деревья и др.
14. "Поющая бутылка". Известно, что если дуть в горло бутылки, то бутылка будет издавать звук определенной частоты (“гудеть”). Определите, от каких параметров бутылки зависит высота издаваемого тона (т.е. частота звука). Проведите эксперименты с различными бутылками и пузырьками. Проверьте найденную зависимость экспериментально. (Для этого Вам скорее всего понадобится пианино и, возможно, консультация человека, получившего музыкальное образование.)
15. "Подъемная сила крыла". Напишите анимационную программу, которая демонстрировала бы физическую природу возникновения подъемной силы крыла самолета.