Карты динамических режимов

Иллюстрации в виде бифуркационных деревьев демонстрируют возможность нетривиальной эволюции аттракторов и, соответственно, колебательных режимов динамических систем при вариации одного параметра. Еще более удивительное разнообразие режимов можно наблюдать, если система характеризуется двумя параметрами. На первый взгляд кажется, что исследование такой системы требует кропотливой работы, и это действительно так. Однако, сейчас в нелинейной динамике стал популярным весьма простой, наглядный и информативный прием, который позволяет быстро получать существенную информацию о системе. Продемонстрируем его на примере кубического отображения

xn+1=a-bxn+xn3	(1)

Компьютерная "технология" двухпараметрического исследования состоит в следующем. Выбираются какие-либо значения параметров a и b. Затем выполняется несколько сотен итераций отображения, для того, чтобы система вышла на аттрактор, а затем - еще несколько сотен итераций уже непосредственно на аттракторе. По мере итераций на аттракторе производится сравнение начального значения со всеми последующими. Если они совпадают с высокой (наперед заданной) точностью, то число итераций принимается за период движения. На плоскости параметров (на экране дисплея) точка отмечается некоторым цветом, причем цветовая палитра выбрана заранее, так что движениям с определенными периодами отвечают определенные цвета. После этого процедура повторяется при слегка измененных значениях параметров, так что в конечном итоге выполняется полное "сканирование" плоскости параметров. В результате плоскость оказывается окрашенной в разные цвета в соответствии с периодом движения на аттракторе. Области хаоса (непериодические режимы) также обозначаются специальным образом. По аналогии с географией такую "раскрашенную" плоскость называют картой динамических режимов.

На рис.1 показана карта динамических режимов кубического отображения (1).

Рис.1

Как видим, столь простая модель демонстрирует очень большое разнообразие режимов и бифуркаций. В нижней части рисунка видна граница между областями устойчивости неподвижной точки и цикла периода 2, представляющая собой линию бифуркации удвоения периода. Линий рождения 4-цикла в результате аналогичной бифуркации уже две, причем область устойчивости 2-цикла имеет характерный вид с уходящим "вверх" пересекающимися "отростками". Таким образом, область устойчивости 2-цикла ограничена этими линиями удвоений, а также двумя линиями складок (термин теории катастроф), образующими нижнюю границу "отростков". Отметим, что линии складок продолжаются внутрь области устойчивости 2-цикла и сходятся в точке, которую в теории катастроф называют точкой сборки (a=0, b=2), которая, однако, на рисунке не видна. Описанная совокупность бифуркационных линий демонстрирует весьма типичную структуру на картах, названную французским специалистом в области нелинейной динамики К.Мира "crossroad area" - "перепутье". На карте можно видеть две аналогичные конфигурации на базе 8-циклов. Самые широкие окна устойчивости реализуются на основе 3-циклов, внутри них можно идентифицировать конфигурации "crossroad area", отвечающие областям устойчивости 6-циклов и т. д.

Правда, карты динамических режимов обладают одним недостатком. Если провести сканирование карты различными способами (например снизу вверх, или слева направо), то отдельные фрагменты карт получаются отличающимися. Это связано со свойством мультистабильности динамических систем. Оно состоит в том, что при заданных значениях параметров могут сосуществовать одновременно несколько (иногда мало, иногда много) аттракторов. Соответственно, в зависимости от начальных условий траектория может выйти на тот или иной аттрактор. Поэтому, построив карту, полезно попробовать сделать то же самое, но при других начальных условиях. Полезным также является прием, когда, сделав маленький шаг по параметру, в качестве начальной в фазовом пространстве берут точку аттрактора, получившегося на предыдущем шаге. Иногда об этом способе говоря, что карту строят с наследованием начальных условий.

Интересно, что карты режимов можно строить не только для отображений, но и для дифференциальных систем, если использовать метод сечений Пуанкаре. Суть метода состоит в том, что в фазовом пространстве выбирается некоторая поверхность. После этого мы следим не за всей фазовой траекторией дифференциальной системы, а лишь за точками ее пересечения с этой поверхностью. Таким образом, мы приходим к дискретному отображению, которые исследовать уже умеем. Удивительно и замечательно, что карты режимов дифференциальных систем оказываются очень похожими на карты для отображений и содержат элементы, аналогичные представленным на рис. 1.

В современной нелинейной динамике достаточно много существенных для теории (иногда говорят эталонных) динамических систем. Среди них и уже знакомое Вам отображение Эно. Набор карт для них образует своеобразный "атлас", с некоторыми "страничками" которого можно познакомиться здесь

Задачи

1. Создайте программу, которая строит карты динамических режимов одномерных отображений. С ее помощью постройте карту кубического отображения.

2. Создайте программу, которая строит карты динамических режимов двумерных отображений. С ее помощью постройте карты отображения Эно и отображения прыгающего шарика.

3. Напишите программу, которая при щелчке мыши на карте строит портрет аттрактора в соответствующей точке. С ее помощью пронаблюдайте эволюцию аттракторов при путешествии по карте отображения Эно. Тоже самое для отображения прыгающего шарика.

4. Модифицируйте предыдущую программу так, чтобы визуализировался не один аттрактор, а одновременно все (или почти все) притягивающие множества, для чего при щелчке мыши в избранной точке плоскости параметров используйте конденсацию облака изображающих точек на фазовой плоскости. Дополните эту программу анализом периода высвеченных аттракторов и обозначьте их разными цветами. Продемонстрируйте возможность сосуществования различных аттракторов в фиксированных точках плоскости параметров. Какие области плоскости параметров отображения Эно и прыгающего шарика более богаты мультистабильными состояниями?