![]() |
Прыгающий шарикРассмотренные нами примеры были одномерными отображениями, поскольку характеризовались единственной переменной x. Теперь мы рассмотрим пример системы, которая характеризуется уже двумя измерениями. При решении задачи 1 из раздела "Дискретные отображения на примере школьной задачи" вы познакомились еще с одной системой, демонстрирующей, наряду с логистическим отображением, геометрическую прогрессию. Вы показали, что высота подскока шарика, отпущенного над горизонтальной поверхностью, дается соотношением где Рис.1 Тогда "стол" может двигаться навстречу шарику, сообщать энергию и
поддерживать колебания. Для такой системы довольно просто построить дискретное
отображение. Прежде всего договоримся о выборе дискретных переменных. В отличие
от логистического отображения их будет две: скорость шарика перед n-ым
ударом Сделаем одно очень существенное предположение - будем пренебрегать смещением стола в момент удара. (Этот можно сделать, если скорость шарика достаточно велика по сравнению со скоростью плиты.) Тогда движение шарика на плоскости t, y выглядит так, как показано на рис.2. Рис.2 Итак, скорость шарика перед ударом Тогда перед ударом его скорость есть При ударе по условию теряется доля скорости Вернемся в исходную систему отсчета, для чего добавим к найденному значению скорости скорость стола. Тогда шарик отлетает от плиты со скоростью Ясно, что, подпрыгнув с этой скоростью в отсутствии сопротивления воздуха, он с ней же упадет на стол. Но это уже будет скорость перед (n+1)-ым ударом. Таким образом Время свободного полета шарика Мы получили искомое двумерное отображение. Его можно несколько упростить, приведя
к безразмерному виду. Для этого положим Тогда Полагая Здесь Итак, в безразмерном виде наше отображение характеризуется двумя параметрами:
В наше соотношение мы добавили символы Убедимся, что наше предположение о том, что вибрации стола поддержат колебания шарика, верно. Найдем неподвижную точку отображения Отсюда Это уравнение имеет два решения при условии Мы можем легко найти высоты подскоков в этой точке Будем теперь увеличивать амплитуду колебаний стола k. Обратимся к компьютерному
моделированию. На рис.3 показано бифуркационное дерево, дающее зависимость установившейся
скорости V от амплитуды k при фиксированном значении Рис. 3 Можно видеть, что в системе имеет место бифуркации удвоения периода. Нам остается добавить, что наша практически школьная задача на самом деле является одной из серьезных моделей нелинейной динамики. Ее ввел российский физик Заславский, как некоторую модель астрофизики ускорения космических частиц гравитационными полями звезд. Однако она получила популярность скорее как именно как модель шарика, прыгающего на столе. Ее реализовывали и экспериментально, для чего в качестве вибрирующего стола использовали диффузор громкоговорителя (рис.4) Рис.4 В эксперименте наблюдались и удвоения периода и хаотические колебания. Задачи
Саратовская группа теоретической нелинейной динамики |