Логистическое отображение и
бифуркационные деревья

Могут ли отображения демонстрировать нечто более сложное, чем в рассмотренной задаче о бесконечной цепочке сопротивлений? Ответ на этот вопрос положительный. Оказывается, что для более сложной динамики достаточно, чтобы функция f(x) имела квадратичный экстремум.

Простейшей функцией с квадратичным экстремумом является парабола, а соответствующее отображение называют логистическим

.

Изобразим график функции , т.е. итерационную диаграмму нашего отображения (рис.1).

Рис.1

Хорошо видно, что отображение может иметь уже две неподвижных точки. Одна из них имеет ординату x₀=0. Исследуем устойчивость этой точки, для чего вычислим соответствующую производную (мультипликатор):

.

При r >1 эта точка неустойчива. Изобразим динамику в этом случае на итерационной диаграмме (рис.2).

Рис.2

Можно заметить, что итерации вблизи начала координат идут по закону геометрической прогрессии. Этот факт послужил основой для серьезного изучения логистического отображения в популяционной биологии. Действительно, известно, что при достаточном количестве пищи (параметр r) популяция (например, рыба в пруду) размножается по закону геометрической прогрессии. Для простоты будем считать, что x_n дает количество рыбы в пруду в n-ый год. Таким образом, начальное значение x₁ - это число выпущенной в пруд рыбы в первый год, x₂ – количество рыбы на следующий год и т.д.

Спрашивается, что будет с этой рыбой по истечении достаточно большого времени? Сначала количество рыбы будет нарастать по геометрической прогрессии. Ясно, однако, что если рыбы слишком много, то популяция перестает расти. Поэтому график f(x) и имеет падающий участок.

Интуиция говорит о том, что количество рыбы в пруду сначала нарастает, а затем стабилизируется. (Математики сказали бы, что последовательность x_n имеет предел.) Наш график как будто подтверждает в этом интуицию (рис.3).

Рис.3

Как можно видеть, есть еще одна неподвижная точка x₀^*, к которой сходятся итерации.

, .

Это и будет установившееся количество рыбы в водоеме.

Однако, устойчива ли эта неподвижная точка? Найдем ее мультипликатор

.

Если r немного больше 1, то да; точка устойчива, но при r >3 получаем, что мультипликатор , а значит "стабильное" состояние популяции оказывается неустойчивым (рис.4)!

Рис. 4

А какой же режим рождается при r=3? Используя итерационную диаграмму, можно предположить, что это будет ситуация типа показанной на рис.5:

Рис.5

Говорят, что в этом случае отображение имеет 2-цикл. Можно легко получить явное выражение для его элементов из следующего условия:

.

Сложим друг с другом оба уравнения системы, а затем вычтем из первого уравнения второе. В итоге получаем:

.

Используя теорему Виета, можем записать уравнение для поиска элементов 2-цикла:

.

Решая это квадратное уравнение, получаем:

.

Из этой формулы, кстати, хорошо видно, что 2-цикл рождается при r=3, а при r<3 его существование невозможно, так как под корнем стоит отрицательное число.

Итак, если пищи слишком мало, то первые поколения нарастают очень быстро по численности, а затем стационарная численность рыбы не устанавливается, а она начинает меняться периодически от года к году: x₁, x₂, x₁, x₂ и т.д. Это очень важный результат с точки зрения динамики популяции.

Ну, а если еще больше увеличить r? Аналитически можно показать, что существует значение параметра, при котором станет неустойчивым и 2-цикл. Действительно, для элемента 2-цикла можно написать соотношение

.

Таким образом, элемент 2-цикла есть неподвижная точка двукратно проитерированного отображения. Этот факт позволяет легко определить устойчивость цикла, поскольку тогда можно применить полученный ранее способ анализа устойчивости неподвижной точки. При этом только надо использовать правило дифференцирования сложной функции. Итак

.

В нашем случае и легко получаем

Таким образом, при мультипликатор обращается в –1 и 2-цикл становится неустойчивым! Какой режим при этом рождается? Точка x₁ “удвоится” – расщепится на две. То же самое произойдет с точкой x₂. Значит, у нового движения будет четыре элемента, т.е. реализуется 4-цикл.

Что будет, если еще больше увеличить параметр, можно установить уже только при помощи компьютерного моделирования.

Для этого прежде всего естественно использовать программу построения итерационных диаграмм. Итак, приступаем к компьютерному моделированию. Сначала убедимся, что в интервале 3<r<3,449 действительно рождается 2-цикл. Затем чуть-чуть увеличим параметр r>3,449 и убедимся, что рождается 4-цикл. Далее будем брать другие значения параметра и смотреть, что получится.

На рисунке 6 показаны некоторые типы итерационных диаграмм, которые возможны для отображения, заданного квадратичной параболой. Мы здесь использовали другое представление параболического отображения , которое более удобное в ряде отношений.

Рис.6

Мы видим, что 4-цикл превращается в циклы периода 8, 16 и т.д., затем возникает сложный, неповторяющийся процесс. Эти режимы называют динамическим хаосом. Что это означает на языке динамики популяции? Пусть мы запустили рыбу в пруд и подкармливаем рыбу, чтобы иметь большой улов. Если пищи немного, то численность популяции станет стабильной. Если пищи увеличить, то возможны колебания численности рыбы год от года – в одном году рыбы много, а на будущий год - мало. Если же количество пищи перейдет через некоторое пороговое значение, то численность рыбы начнет хаотически, непредсказуемо меняться год от года! Весьма неожиданный и нетривиальный результат. Ясно, что сама возможность такого поведения в предельно простых и предсказуемых системах является важной информацией. О ее нетривиальности говорит тот факт, что возможность такого динамического хаоса была осознана только в конце двадцатого века!

Вернемся к нашим диаграммам. Можно видеть, что с ростом параметра возникают сложные циклы периодов 6, 4, 3 и т.д., чередующиеся с областями непериодического поведения.

Еще одна эффектная иллюстрация сложного поведения квадратичного отображения – бифуркационное дерево (или, как иногда говорят, дерево Фейгенбаума по имени американского физика, установившего многие интересные законы динамики отображений). Бифуркационное дерево дает зависимость установившихся значений переменной x от параметра. Наше аналитическое рассмотрение позволяет нарисовать начальный участок дерева (рис.7).

Рис.7

Это неустойчивая неподвижная точка и рождающийся 2-цикл. В последнем случае переменная последовательно посещает две ветви дерева. Такую ситуацию называют бифуркацией удвоения периода. Полное дерево (для всех значений параметра) можно построить с помощью компьютера. Для этого надо задать некоторое начальное значение переменной и параметра. Затем выполнить несколько сот итераций отображения, чтобы исключить переходные процессы и реализовать установившийся режим, и вывести некоторое количество точек на экран дисплея. Затем процедуру повторить для слегка измененного количества параметра. (Рекомендуем в качестве нового начального значения переменной использовать то, что получилось на предыдущем шаге процедуры.) И далее все повторить для всего диапазона управляющего параметра. В результате получится картинка, показанная на следующем рисунке.

Рис.8

На бифуркационном дереве хорошо видны моменты удвоений периода, когда дерево расщепляется на две ветви, хаотический режим и различные окна периодических режимов в хаосе.

Одно из удивительных открытий американского физика Фейгенбаума состояло в том, что аналогичное поведение демонстрирует не только это, но и другие отображения, моделирующие математические, физические, химические и даже социальные системы. Он сумел обосновать этот факт теоретически. Еще более удивительно, что и системы в виде дифференциальных уравнений тоже демонстрируют такое поведение – переход к хаосу через удвоения периода. При этом законы такого перехода, открытые Фейгенбаумом, универсальны – т.е. одинаковы для всех систем. Можно сказать, что возникновение хаоса в результате каскада удвоений периода – это одна из фундаментальных закономерностей природы.

Задачи

1. Покажите, что отображение заменой переменных приводится к виду . Проведите исследование неподвижных точек и 2-циклов логистического отображения в форме аналогично тому, как это сделано в тексте.

2. Найдите значения параметра , отвечающее сверхустойчивому 2-циклу, характеризующимся равным нулю мультипликатором.

3. Реализуйте программу, которая строит бифуркационное дерево для логистического отображения. Укажите значения параметров, когда реализуются 2-цикл, 3-цикл, 4-циклы (их несколько!), 5-циклы.

4. Постройте итерационные диаграммы логистического отображения, дающие характерные циклы и хаотические режимы.

5. Постройте бифуркационное дерево для отображения . Сравните с деревом логистического отображения.

6. Создайте программу, которая при щелчке мышью на бифуркационном дереве в отдельном окне строит итерационную диаграмму.