Фазовое пространство и аттракторы

Как проследить за эволюцией динамической системы при заданных начальных условиях? Для этого нужно "увидеть", что происходит с задающими динамическую систему переменными x, y,... по мере эволюции во времени. Введем некоторое пространство, по осям координат которого отложим эти переменные. Подобное пространство принято называть фазовым. Фраза "задано начальное состояние динамической системы", теперь означает, что задана точка в фазовом пространстве. "Включим" время. Если система определена дискретным отображением, например, отображением Эно или прыгающего шарика, то изображающая точка при каждой итерации будет совершать "прыжки" в фазовом пространстве.

Динамическая система полностью задает закон эволюции во времени, однако, чтобы получить полную информацию о характере такой эволюции надо провести исследование для различных начальных условий. Современные компьютеры делают эту задачу не умозрительной, а вполне реальной и позволяют получать наглядные геометрические образы такого процесса.

Итак, рассмотрим множество начальных состояний системы. В фазовом пространстве в этом случае будем иметь уже не одну изображающую точку, а целое облако. При "включении" времени они все двинутся по своим траекториям (в случае дифференциальных уравнений), либо начнут совершать "прыжки" (в случае дискретных отображений). При компьютерном моделировании разумно создать мгновенные "снимки" облака через определенные промежутки времени (число итераций). Тогда можно следить за эволюцией облака на экране дисплея.

Перейдем к компьютерному моделированию. В качестве исследуемой системы выберем отображение Эно.

Здесь и b – параметры. На рис.1 показаны мгновенные "снимки" облака изображающих точек на фазовой плоскости для отображения Эно, сделанные через одну итерацию.

Рис.1

Заметим, что при работе за компьютером весьма удобно и увлекательно наблюдать эволюцию облака изображающих точек в режиме "компьютерной мультипликации".

Наиболее существенный результат, который вытекает из компьютерного моделирования (рис.1), состоит в том, что облако изображающих точек "конденсируется" на некоторые предельные объекты. Их называют аттракторами (от английского to attract – притягивать). Динамические системы, которые обладают аттракторами, называют диссипативными.

Существование аттракторов приводит к весьма важным выводам о поведении системы. В этом случае исследование установившихся режимов, т.е. режимов, которые наблюдаются по истечении достаточно большого времени, эквивалентно изучению геометрической структуры аттрактора. (Соответствующий подход в теории колебаний был высказан А.А.Андроновым и лежит в основе понятий об автоколебаниях. За примерами автоколебательных систем в реальной жизни далеко ходить не надо, например, часы – это автоколебательная система.)

Процесс "конденсации" изображающих точек на аттрактор занимает некоторое время. Как видно из рис.1 в результате изображающие точки притягиваются к некоторой сложной слоистой структуре. Если просмотреть с помощью компьютера как "микроскопа" отдельные фрагменты такого аттрактора, то обнаруживается, что он весь состоит из отдельных "нитей" и областей пустого пространства, причем каждая нить в свою очередь имеет аналогичную тонкую структуру. Как говорят, аттрактор в этом случае обладает фрактальными свойствами. Подобные аттракторы были обнаружены в семидесятые годы нашего века и получили название странных. А колебательные режимы, которым не отвечает определенный период, назвали динамическим хаосом. Обнаружение динамического хаоса явилось своего рода революцией в науке, так как оказалось, что простые предсказуемые системы могут демонстрировать в установившимся режиме нерегулярную непериодическую динамику.

Итак, если исследуемая система диссипативна, то можно изучать лишь ее аттракторы. Это упрощает компьютерное моделирование - не надо следить за всеми изображающими точками. Достаточно выбрать одну из них, выполнить определенное (не очень маленькое) число итераций, чтобы эта точка "вышла" на аттрактор, а затем вывести ее движение на экран компьютера. Тогда мы и получим портрет аттрактора.

Задачи

1. Напишите программу, которая реализует конденсацию изображающих точек на аттрактор Эно.

2. Напишите программу, которая строит на экране аттрактор отображения Эно. (Для этого наеобходимо предварительно выполнить несколько сот итерация без вывода на экран для выхода ихзображающей точки на аттрактор.

3. Найдите примеры значений параметров, которые отвечают устойчивой неподвижной точке, циклу периода 2, циклу периода 4.

4. Создайте программу, которая позволяет просматривать фрагменты аттрактора с некоторым увеличением. (Можно, например, с помощью мыши выделять фрагмент аттрактора.) С ее помощью убедитесь, что аттрактор Эно обладает фрактальной структурой.

5. Постройте на плоскости двух переменных аттрактор, отвечающий предельному переходу от отображения Эно к логистическому отображению. Выберите значения параметров, отвечающих как периодическим, так и хаотическим режимам.

6. Пронаблюдайте конденсацию изображающих точек на аттрактор для отображения прыгающего шарика.

7. Постройте примеры аттракторов для отображения прыгающего шарика. Постарайтесь, чтобы Ваша коллекция была достаточно полной.