главная
только эта страница Автор: д.ф.-м.н., профессор Кузнецов А.П.
17 лекций
образование
задачи и компьютерный практикум
1.1 О классификации динамических систем. Потоковые системы и отображения. Диссипативные и консервативные системы, характер эволюции облака точек в фазовом пространстве. Аттракторы. Размерность фазового пространства, возрастание многообразия и сложности аттракторов при ее увеличении. Простейшие примеры дискретных отображений: цепочка сопротивлений и биологическая популяция. Метод сечений Пуанкаре. О взаимосвязи потоков и отображений. Обратимые и необратимые отображения. Автономные и неавтономные динамические системы. Вид сечения Пуанкаре для неавтономных систем.
1.2 Примеры динамических систем. О мотивации ввода в рассмотрение динамических систем в нелинейной динамике. Кинетические уравнения и закон соответственных состояний. Брюсселятор. Понятие о колебательных химических реакциях. Орегонатор. Система Реслера как искуственная модель химической кинетики. Ускорение Ферми и задачи с соударениями. Модель Улама. Модель Заславского и Чирикова (шарик на вибрирующем столе), построение дискретного отображения в предположении малости амплитуды колебаний, его диссипативность и обратимость. Система с вязким трением под импульсным воздействием, отображения типа Эно и отображение Эно, их диссипативность и обратимость. Логистическое отображение, кубическое отображение, их необратимость. Генератор релаксационных колебаний с регулируемым уровнем срыва. Отображение окружности, представление его динамики на ограниченном участке итерационной диаграммы. Когда это отображение необратимо?
2.1 Бифуркации одномерных потоковых систем. Связь теории бифуркаций и теории катастроф в случае одномерных систем. Классификация бифуркаций по коразмерности. Бифуркация седло-узел. Транскритическая бифуркация. Бифуркация "вилка". Связь различных бифуркационных диаграмм при двухпараметрическом анализе. Субкритическая и суперкритическая формы бифуркаций.
2.2 Бифуркации одномерных потоков в двумерных системах. В чем не тривиальность проблемы (по Пригожину)? Консервативный осциллятор вблизи точек катастроф. Зависимость частоты от параметров и феномен смягчения мод. Физические примеры. Степенные законы вблизи точек катастроф. Случай диссипативного осциллятора. Превращения фокусов в узлы вблизи точек катастроф, или почему не возможна бифуркация "седло-фокус". Замедление времени и универсальность бифуркаций. Фазовые портреты бифуркаций одномерных потоков в двумерных системах.
2.3 Бифуркация Андронова-Хопфа. О возможности бифуркаций динамических систем, не имеющих аналогов в теории катастроф. Бифуркация Андронова-Хопфа и ее универсальность. Эволюция точек в трехмерном фазовом пространстве у порога бифуркации Андронова-Хопфа и понятие о центральном многообразии. "Линейная часть" задачи и ее приведение к каноническому виду в формализме медленных амплитуд. Роль нелинейности и универсальные уравнения для медленных амплитуд. Конфигурация родившегося предельного цикла в канонических переменных и в исходном фазовом пространстве. Порог бифуркации Андронова-Хопфа в двумерных системах. Порог бифуркации Андронова-Хопфа в трехмерных системах.
2.4 Другие бифуркации двумерных потоков. Бифуркация рождения предельного цикла из сгущения фазовых траекторий и ее объяснения в терминах медленных амплитуд. Нелокальные бифуркации коразмерности один: появление и распад седловой связки, рождение предельного цикла из петли сепаратрисы, рождение предельного цикла из общей сепаратрисы седла и узла. Бифуркации коразмерности два. "Критическая точка" линии бифуркации Андронова-Хопфа (превращение линии субкритической бифуркации в суперкритическую) и ее связь с бифуркацией рождения предельного цикла из сгущения фазовых траекторий. Сборка линий бифуркаций рождения предельного цикла из сгущения траекторий и аналог бифуркации "вилка" для циклов. Бифуркация "общая точка бифуркаций Андронова-Хопфа и седло-узел", ее связь с рождением предельного цикла из петли сепаратрисы.
2.5 От двумерных потоков - к одномерным отображениям. Метод сечений Пуанкаре для двумерных потоков. Различные примеры фазовых портретов и соответствующих итерационных диаграмм. Проблема реконструкции одномерного отображения. Обратимость отображений, связанных с двумерными потоками.
3.1 Простейшие свойства одномерных отображений. Неподвижные точки. Устойчивые и неустойчивые неподвижные точки. Характер сходимости (расходимости) вблизи неподвижной точки. Мультипликатор и его геометрическая интерпретация. Критерий устойчивости неподвижной точки. Примеры итерационных диаграмм для разных значений мультипликатора. Циклы. Связь задачи о поиске N-цикла с задачей поиска неподвижной точки. Мультипликатор цикла и его выражения в виде произведения производных. Примеры вычисления мультипликатора цикла. Понятие о циклах максимальной устойчивости. О многообразии циклов на примере логистического отображения.
3.2 Бифуркации коразмерности один. Касательная бифуркация. Движение изображающей точки по "коридору" вблизи порога бифуркации, описание бифуркации с помощью дифференциального уравнения и оценка времени прохождения "коридора". Бифуркация типа "вилка". Субкритические формы касательной бифуркации и бифуркации типа "вилка". Бифуркация удвоения периода. Рождение 2-цикла в логистическое отображении и исследование устойчивости этого цикла. Картина удвоений "в терминах" двукратно проитерированного отображения. Свойства таких отображений и производная Шварца. Бифуркация "жесткий переход через мультипликатор -1" как альтернатива удвоению периода. Бифуркации циклов. От локального к глобальному бифуркационному анализу: каскады удвоений периода, бифуркационное дерево логистического отображения и обсуждение его структуры.
3.3 Бифуркации коразмерности два. Точка сборки касательных бифуркаций. Точка превращения линии удвоения в линию жесткого перехода - flip-бифуркация коразмерности два. Характерные конфигурации области устойчивости циклов на плоскости параметров, ситуации "crossroad area" и "spring area". Мультистабильность и "мнголистная" структура плоскости параметров мультимодальных отображений. От локального к глобальному двухпараметрическому бифуркационному анализу: примеры сосуществования бифуркационных линий и точек различных циклов на плоскости параметров. Карты динамических режимов.
3.4 Понятие о критических явлениях. Почему бифуркации удвоения образуют каскад? Накопление удвоений. Критическая точка. Закон Фейгенбаума и его универсальная константа. Законы расщепления на бифуркационном дереве и вторая универсальная константа Фейгенбаума. Понятие о скейлинге. Скейлинг на оси управляющего параметра. Скейлинг на бифуркационном дереве. Удвоения периода в двухпараметрических отображениях. Связь бифуркационных "сценариев" и маршрутов на плоскости параметров. Ситуация коразмерности один, связанная с условием отображения "экстремум в экстремум" на примере кубического отображения. Доказательство наличия экстремума четвертой степени у двукратного проитерированного отображения. Трикритические точки и устройство карт динамических режимов в их окрестности. Двухпараметрический скейлинг.
3.5 Двумерные отображения. Неподвижные точки двумерных отображений. Матрица монодромии и мультипликаторы. Примеры различных вариантов динамики на фазовой плоскости в окрестности неподвижной точки, связь с величинами мультипликаторов. Случаи действительных и комплексных мультипликаторов. Устойчивость неподвижной точки. Границы области устойчивости и областей действительных и комплексных мультипликаторов на плоскости след - якобиан матрицы монодромии. Циклы двумерных отображений. Матрица монодромии и мультипликаторы циклов.
3.6 Бифуркации, характерные для одномерных отображений в случае двух измерений.Отображения с постоянным якобианом, ограничения на вид бифуркаций для таких отображений. Касательная бифуркация в отображении Эно. Бифуркация удвоения периода неподвижной точки отображения Эно. Эволюция мультипликаторов на комплексной плоскости при изменении параметров от точки касательной бифуркации до бифуркации удвоения периода. Поиск 2-цикла отображения Эно и анализ его устойчивости.
3.7 Бифуркация Неймарка. Модельное отображение в случае произвольного якобиана. Карта динамических режимов модельного отображения. Аттракторы в виде инвариантных кривых и циклов, эволюция изображающей точки на этих аттракторах. Языки синхронизации. Число вращения. Рациональные и иррациональные числа вращения. Примеры различных чисел вращения для одинаковой конфигурации цикла. Связь числа вращения с аргументом мультипликатора на линии J=1. Понятие об устойчивом и неустойчивом многообразии двумерных отображений. Конфигурация многообразий для цикла внутри языка синхронизации. Граница языка синхронизации как касательная бифуркация. Тонкая структура плоскости параметров в окрестности линии инвариантной кривой. Замечания о физическая реализация режимов, отвечающих инвариантной кривой.
3.8 Синхронизация и отображение окружности. Качественное объяснение перехода к отображению окружности при обсуждении проблемы синхронизации. Карта динамических режимов отображения окружности. Число вращения для отображения окружности. Примеры итерационных диаграмм для различных рациональных чисел вращения. Как меняется итерационная диаграмма при выходе через границы языка синхронизации? Уравнение для поиска элементов цикла и границ языка синхронизации для заданного числа вращения. Границы основного языка.
4.1 От двумерных отображений к трехмерным потокам. Различные типы устойчивости предельных циклов в трехмерном пространстве и их объяснение с помощью сечений Пуанкаре. Примеры.
4.2 Простейшие бифуркации трехмерных потоков. Бифуркация удвоения периода передельных циклов. Цикл "удвоенного" периода как край ленты Мебиуса. Каскады удвоений в трехмерном фазовом пространстве. Бифуркация рождения тора и ее связь с бифуркацией Неймарка. Два масштаба времени, движения на торе, биения. Эргодические торы и квазипериодические режимы. Резонансные циклы на торах, рациональные числа вращения для трехмерных систем и их связь с числом вращения в сечении Пуанкаре. Как выглядят движение на торе и на резонансном цикле в проекции на координатную плоскость в фазовом пространстве? Торы на базе циклов удвоенного периода и понятие о многообразии бифуркаций торов и связанных с ними циклов.
главная
образование
только эта страница
в начало