Отображения на торе

Отображения на торе – этот обобщение отображения окружности на случай взаимодействия большего числа автоколебательных осцилляторов. Так для трех осцилляторов приходим к отображениям на двумерном торе, для четырех – на трехмерном торе и т.д. При этом фазовые переменные представляют собой разность фаз осцилляторов. Отображения такого типа можно получить, если в уравнениях, описывающих ансамбль осцилляторов, заменить производные конечными разностями. Например, для замкнутой в кольцо системы трех осцилляторов, можно прийти к отображению

Карты режимов этой системы для m=0.6 при нескольких значениях параметра связи между крайними осцилляторами, представлены ниже. Верхний ряд представляет традиционные карты, на которых цветами обозначены циклы разных периодов. Синий цвет отвечает периоду 1, светло голубой – периоду 3 и т.д. Нижний ряд дает карты ляпуновских показателей, на которых цветами указаны разные типы режимов: красный цвет – периодические режимы, желтый – двухчастотная квазипериодичность, синий – трехчастотная квазипериодичность, черный – хаос. О построении ляпуновских карт такого типа см. Синхронизация многочастотных и квазипериодических колебаний.

Литература

1. А.П. Кузнецов, А.В. Савин, Ю.В. Седова, Л.В. Тюрюкина. Бифуркации отображений, Саратов: ООО Издательский центр "Наука", 2012, 196с.

2. А.П. Кузнецов, И.Р. Сатаев, Ю.В. Седова, Л.В. Тюрюкина. О моделировании связанных автоколебательных осцилляторов с помощью простейших фазовых отображений. Известия вузов - Прикладная нелинейная динамика, 20, 2012, №2, 112-137.