.
Характерной иллюстрацией возможных бифуркаций в системе служит бифуркационное дерево, представляющее собой зависимость возможных дискретных значений динамической переменной на аттракторе от параметра. Типичный пример такого дерева, построенного с помощью компьютера, показан на рисунке. Приведенный пример относится к одной из эталонных моделей нелинейной динамики – логистическому отображению .
Можно видеть, что при малых значениях параметра λ переменная x принимает единственное значение, т.е. процесс во времени вообще не меняется. Затем рождается режим периода два, когда происходит циклическое изменение переменной, принимающей по очереди два значения. Затем рождается режим периода 4. Наблюдаемые бифуркации называют удвоениями периода.
Интересно, что точки удвоений накапливаются к некоторой критической точке по закону геометрической прогрессии. При этом показатель прогрессии δ=4,6692… одинаков для всех нелинейных систем. Это закон нелинейного мира, универсальный характер которого был осознан и обоснован М.Фейгенбаумом. Теория Фейгенбаума основана на методе ренормализационной группы, использовавшемся ранее для объяснения универсальных законов физики фазовых переходов, квантовой теории поля и др.
За критической точкой возможен хаос, который на дереве выглядит как «размазанные» участки кроны. В этом случае динамическая переменная совершает нерегулярное движение, которое выглядит как шум, хотя и является «продуктом» простейшего итерационного уравнения.
К предыдущей странице Вернуться в оглавление К следующей странице