главная только эта страница

Задачи по курсу
"Динамические системы и бифуркации"

образование
программа курса

Темы задач

1. Классификация и примеры динамических систем.
2. Бифуркации одномерных потоков.
3. Бифуркация Андронова-Хопфа.
4. Бифуркации предельных циклов.
5. Бифуркации одномерных отображений коразмерности один.
6. Бифуркации двух- и трехпараметрических одномерных отображений. Примеры задач.
7. Бифуркации двумерных отображений.
8. Квазипериодические режимы и синхронизация в двумерных и одномерных отображениях.

(всего подготовлено 82 задачи)

Компьютерный практикум

1. Эволюция облака изображающих точек в фазовом пространстве для потоковых систем.
2. Эволюция облака изображающих точек в фазовом пространстве для отображений. ров.
3. Однопараметрический анализ потоковых систем. Бифуркация Андронова-Хопфа.
4. Двухпараметрическое исследование двумерных потоковых систем.
5. Двухпараметрическое исследование одномерных отображений. Условие задачи.
6. Двухпараметрическое исследование двумерных отображений.
7. Квазипериодические движения, синхронизация и бифуркация Неймарка.
8. Неустойчивое и устойчивое многообразия.

(всего подготовлено 8 задач)

Задачи по теме "Бифуркации двух- и трехпараметрических одномерных отображений"

49. Для кубического отображения вида найдите область устойчивости на плоскости параметров a, b ограниченную линией касательной бифуркации и линией удвоения периода. Покажите, что первая имеет точку сборки.

50. Для кубического отображения из предыдущей задачи область устойчивости 2-цикла имеет вид, типичный для циклов всех периодов и для двухпараметрических отображений (рисунок). Такие конфигурации К.Мира называет "crossroad area". Линии каких бифуркаций изображены на рисунке? Изобразите эволюцию двукратно проитерированной функции при движении по нескольким характерным маршрутам и поясните типичность подобных конфигураций. Найдите координаты точки сборки.

51. На примере предыдущего отображения установите, как расположены линии, отвечающие отображению максимума в минимум и минимума в максимум. Укажите точку на плоскости параметров, отвечающую 2-циклу, опирающемуся одновременно на два квадратичных экстремума. Покажите, что вдоль найденных линий двукратно проитерированное отображение имеет экстремум четвертой степени.

52. Для неподвижной точки кубического отображения :

А. Найдите линию мультипликатора (касательной бифуркации) на плоскости a, b. Покажите, что эта линия имеет точку сборки и укажите ее координаты. Изобразите все характерные конфигурации функции в точке сборки и ее окрестности.

Б. Найдите линию мультипликатора и нанесите ее на плоскость a, b. Вычислите производную Шварца вдоль этой линии и укажите, какие ее части отвечают бифуркации удвоения, а какие - жесткому переходу. Укажите на плоскости a, b точку коразмерности два, в которой производная Шварца обращается в нуль (flip-бифуркация коразмерности два).

В. Найдите уравнение для линий касательной бифуркации 2-цикла и покажите, что они выходят из найденной выше точки с нулевой производной Шварца и пересекают ось a в точках

Г. Заштрихуйте на рисунке область устойчивости 2-цикла. (Вторая типичная конфигурация двухпараметрических отображений - "spring-area" по терминологии К.Мира).

53. Изобразите характерную трансформацию двукратно проитерированного отображения из предыдущей задачи в окрестности точки flip-бифуркации коразмерности два.

54. Изобразите качественно бифуркационные диаграммы, соответствующие двум представленным на рис. маршрутам на карте динамических режимов.

55. Найдите условие, отвечающее существованию кубической точки перегиба для отображения . Какой объект задает это условие в пространстве трех параметров a, b, c? Найдите условие, отвечающее отображению квадартичного экстремума в кубическую точку перегиба. Какой объект задает это условие в пространстве трех параметров a, b, c? Тоже самое для ситуации, когда кубическая точка перегиба отображается в квадратичный экстремум.

56. Покажите, что при условии, что квадартичный экстремум отображается в кубическую точку перегиба, двукратно проитерированное отображение имеет экстремум шестой степени. Изобразите соответствующую ситуацию на итерационной диаграмме. Какова ее коразмерность?

57. Покажите, что при условии, что квадартичный экстремум отображается в другой квадратичный экстремум, а тот - еще в один, то трехкратно проитерированное отображение имеет экстремум восьмой степени. Изобразите соответствующую ситуацию на итерационной диаграмме. Какова ее коразмерность?

Задача компьютерного практикума по теме "Двухпараметрическое исследование одномерных отображений"

Постройте карту динамических режимов одного из предложенных отображений - т.е. плоскость параметров, на которой оттенком серого цвета обозначены циклы определенного периода. Линии каких бифуркаций коразмерности один можно обнаружить на вашей карте? Какие точки бифуркаций коразмерности два? Укажите ситуации типа "crossroad area" и "spring area". Создайте дополнительную программу, которая строит итерационные диаграммы в задаваемых вами точках карты. С помощью этой программы проведите следующее исследование:

а) выберите маршрут, пересекающий несколько линий удвоения и пронаблюдайте каскад удвоений периода на итерационной диаграмме;

в) получите циклы с небольшими периодами, например 3 или 5, в островках устойчивости в области хаоса;

в) выберите точку вблизи линии касательной бифуркации (до ее порога) и пронаблюдайте соответствующую эволюцию изображающей точки;

г) пронаблюдайте хаотические режимы;

д) исследуйте эволюцию аттракторов в окрестности точки сборки;

е) исследуйте эволюцию аттракторов в окрестности критической точки линии удвоения периода (flip-бифуркации коразмерности два).

"Просмотрите" увеличенные фрагменты карты, внутри которых можно наблюдать интересную динамику.

Примеры динамических систем для исследования:

а) кубическое отображение вида ;

б) кубическое отображение вида ;

в) квартичное отображение .

главная образование только эта страница в начало