главная наука только эта страница

Неавтономный автогенератор с жестким возбуждением

атлас
след. - модель Рëсслера
пред. - осциллятор Ван-дер-Поля и Ван-дер-Поля - Дуффинга

Простейший автогенератор с жестким возбуждением под внешним гармоническим воздействием описывается следующим уравнением:

Оно представляет собой модификацию уравнения Ван-дер-Поля – Дуффинга с дополнительным членом четвертой степени, величина которого управляется параметром k. В автономной системе в этом случае в фазовом пространстве могут сосуществовать два предельных цикла, один из которых неустойчивый, а второй – устойчивый. Устойчивый больше по диаметру, поэтому чтобы возникли отвечающие ему автоколебания, необходим некоторый начальный толчок, что и объясняет термин «жесткое возбуждение».

Ниже на левом рисунке показана карта динамических режимов системы для l = 1.0, b=0.34, k=0.1. Можно видеть две разных системы языков синхронизации. Одна лежит справа от основного языка и выстраивается вдоль его границы, которая образована линией седло-узловой бифуркацией. Вторая система языков лежит слева, причем вершины языков из этой системы имеют острия и в верхней части. Граница основного языка в этой области является линий бифуркации Неймарка-Сакера (Андронова-Хопфа в укороченных уравнениях).

Справа показана аналогичная карта, но в случае эволюции назад во во времени. Этот прием позволяет визуализировать неустойчивые режимы. Хорошо виден основной неустойчивый язык синхронизации. Устойчивый язык на этой карте отвечает убеганию траекторий на бесконечность и показан серым цветом. Вершины устойчивого и неустойчивого языков разнесены по оси частот, что связано с неизохронностью системы, за которую ответственен параметр b. В случае b=0, устойчивый и неустойчивый языки языки имеют общую вершину. Справа реализуется система языков больших периодов, отвечающая синхронизации неустойчивого режима.

С ростом параметра k предельные циклы в автономной системе сближаются и при некотором бифуркационном значении сливаются и исчезают. Замечательно, что квазипериодические режимы в неавтономной системе не исчезают одновременно с предельными циклами. Это явление обнаружено Мандельштаммом и Попалекси еще в 30-е годы XX века и было названо эффектом асинхронного возбуждения. Следующий рисунок иллюстрирует этот эффект с помощью карты динамических режимов, для значения параметра к=0,15, большего бифуркационного. Можно видеть, что существуют два характерных острова квазипериодических режимов, внутри которых просматриваются и языки синхронизации. В этом случае устойчивый тор в фазовом пространстве реализуется в области сгущения фазовых траекторий автономной системы, которая остается после слияния предельных циклов. За образование островов в рамках укороченных уравнений отвечают линии бифуркаций Андронова-Хопфа, после слияния которых области квазипериодики окончательно исчезают.

Некоторые моменты картины синхронизации в системе (1) можно найти в работе А.П.Кузнецов, С.В.Милованов. Синхронизация в системе с бифуркацией слияния устойчивого и неустойчивого предельных циклов.

главная наука атлас только эта страница в начало