Сложная динамика осцилляторов и отображений с катастрофами

Теория катастроф - математическая дисциплина, содержанием которой является нахождение, анализ и классификация особенностей дифференцируемых отображений. Следуя одной из популярных книг, можно сказать, что это далеко идущее обобщение исследования функций на максимум и минимум.

Когда говорят о теории катастроф, обычно подразумевают, что пространство образов одномерно, а размерность пространства прообразов может быть любой. (Хотя иногда термин толкуют и в более широком смысле, полагая, что произвольную размерность имеет также и пространство образов.) Оказывается, что количество типов особенностей, которые в ситуациях общего положения могут встречаться при количестве управляющих параметров до пяти, ограниченно. Именно это обстоятельство создает основу для их классификации, анализа, а также для приложений.

Катастрофа определенного типа понимается как выделенный в рамках указанного подхода тип особенности, характеризуемый определенным универсальным устройством окрестности в пространстве параметров. Количество параметров, которые нужно учитывать, чтобы иметь полную картину устройства окрестности, также определено типом особенности. Каждой катастрофе сопоставляется термин ("складка", "сборка", "ласточкин хвост", "эллиптическая омбилика", "гиперболическая омбилика" и др.), формула - заданная алгебраическим соотношением функция, содержащая нужное количество переменных и параметров, и графический образ. Для катастроф высокого порядка соответствующие картинки выглядят нетривиально и эстетически привлекательно (в качестве примера приводится рисунок, изображающий пространство параметров катастрофы "ласточкин хвост").

Имеет место прямое соответствие между теорией катастроф и разделом нелинейной динамики, относящимся к градиентным системам; по существу, это теория бифуркаций состояний равновесия таких систем. (Дифференциальное уравнение градиентной системы получается, если задать скорости изменения обобщенных координат частными производными от функции катастрофы по этим переменным.)

В рамках наших исследований, идеи и результаты теории катастроф привлекаются к другим классам систем, как исходный организующий принцип для выбора формы уравнений, подлежащих рассмотрению. Одно из направлений - конструирование нелинейных осцилляторов, потенциал которых задан функциями катастроф. При наличии диссипации и внешнего периодического воздействия, они могут демонстрировать сложную динамику, тип которой изменяется в зависимости от параметров, фигурирующих в функции катастрофы [1,2]. При наличии обратной связи, обеспечивающей компенсацию потерь энергии от внешнего неколебательного источника, эти осцилляторы становятся автоколебательными системами. Например, для потенциала, заданного катастрофой складки, эта конструкция приводит к осциллятору Ван дер Поля, а в случае катастрофы сборки - к осциллятору Фитц Хью - Нагумо, которые, таким образом, находят свое место, как простейшие представители некоторой обширной классификационной схемы [3,4]. Другое направление - конструирование на базе функций, предлагаемых теорией катастроф, систем с дискретным временем, которые демонстрируют те или иные динамические режимы в зависимости от параметров [5].

[1] A.Yu.Kuznetsova, A.P.Kuznetsov, C.Knudsen, E.Mosekilde. Catastrophe theoretic classification of nonlinear oscillators. International Journal of Bifurcation and Chaos, 14, 2004, No. 4, 1241-1266
(текст статьи)

[2] А.П.Кузнецов, А.Ю.Потапова. Особенности сложной динамики нелинейных осцилляторов с катастрофами Тома. Известия вузов - Прикладная нелинейная динамика, т.8, 2000, №6, с.94-120
(текст статьи)

[3] А.П.Кузнецов, Ю.В.Седова, И.Р.Сатаев. Бифуркации и синхронизация в осцилляторах Ван-дер-Поля с потенциалом, заданным катастрофами Р.Тома. Фундаментальные и прикладные задачи нелинейной физики. Конференция молодых ученых. 1 - 7 марта 2008 г. Тезисы докладов. РАН, ИПФ, НГГУ, Нижний Новгород, 2008, с. 139-140
(презентация)

[4] Д.В. Визгалин. Автоколебательные системы, заданные катастрофой сборки. В сб.: Нелинейные дни в Саратове для молодых - 2006. Материалы научной школы-конференции. Саратов, 2007, 97-100
(презентация)

[5] Ю.С.Иванов, А.Ю.Кузнецова. Отображение катастроф. В сб.: Нелинейные дни в Саратове для молодых - 2003. Материалы научной школы-конференции. Саратов, Изд-во ГосУНЦ "Колледж", 2003, 46-50
(текст доклада)

Саратовская группа
теоретической нелинейной
динамики