Если в системе с квазипериодическим воздействием при одном значении управляющего параметра реализуется гладкий тор, а при другом – СНА, то какие переходы (бифуркации) могут наблюдаться в процессе движения по параметру от одного режима к другому? Один из сценариев, получивший название бифуркации расширения (“blowout”), реализуется в модели с бифуркацией вилки. Интересный подход к изучению деталей возникновения СНА для нескольких ситуаций был развит на основе метода ренормгруппы.
Бифуркационные сценарии в квадратичном отображении
Говоря о бифуркационных сценариях в модельной системе
естественно начать с бифуркаций удвоения торов (Анищенко, 1982, Kaneko, 1983). Известно, что при e=0 имеем последовательность бифуркаций удвоения периода с переходом к хаосу по Фейгенбауму. Первая бифуркация состоит в том, что неподвижная точка теряет устойчивость, и рождается аттрактор из двух точек, посещаемых попеременно, цикл периода 2. В присутствии квазипериодического воздействия вместо устойчивой неподвижной точки имеем притягивающую замкнутую инвариантную кривую (тор-аттрактор) T1, а бифуркация состоит в том, что от нее отделяются две замкнутые кривые, посещаемые попеременно (см.рисунок). Это новый аттрактор - удвоенный тор Т2. При малых e, увеличивая l, что соответствует движению на плоскости параметров по линии TD, можно наблюдать несколько бифуркаций удвоения торов (T1-->T2-->T4-->:). В отличие от фейгенбаумовского каскада, эта последовательность содержит конечное число бифуркаций (тем большее, чем меньше e).
Хеги и Хэмел (Heagy and Hammel, 1994) рассмотрели механизм, ответственный за ограничение числа удвоения торов, и связали с ним сценарий рождения СНА. Он отвечает движению по пути HH на плоскости параметров и иллюстрируется фазовыми портретами на рисунке ниже. После рождения удвоенного тора, представленного на фазовом портрете двумя изогнутыми линиями, продолжает существовать также потерявший устойчивость родительский тор, обозначенный красным. С увеличением l компоненты удвоенного тора приобретают все более извилистый вид, разбухая по ширине, и, наконец, в момент бифуркации касаются своими выступами располагающейся между ними родительской инвариантной кривой. После бифуркации притягивающее множество уже не имеет двух попеременно посещаемых компонент, а представляет собой единый СНА.
Другой сценарий описан Нишикавой и Канеко (Nishikawa and Kaneko, 1996) и состоит в том, что притягивающая инвариантная кривая постепенно делается все более извилистой, теряет гладкость и становится фрактальной – возникает СНА. Это имеет место при движении на плоскости параметров по пути FT и иллюстрируется фазовыми портретами на приведенном ниже рисунке.
Переход к СНА на пути CI, состоит в том, что область, занятая аттрактором резко расширяется, хотя система по-прежнему проводит большую часть времени в окрестности ранее существовавшей притягивающей инвариантной кривой, т.е. имеет место перемежаемость. В работе Prasad et al. (1997) этот переход гипотетически ассоциирован с бифуркацией торов, являющейся аналогом столкновения устойчивой и неустойчивой точек при касательной (седло-узловой) бифуркации. На самом деле происходит столкновение тора-аттрактора не с партнером в виде неустойчивого тора, а со специфическим неустойчивым инвариантным множеством, которое идентифицировано в работе Кима с соавторами (Kim, Lim, Ott, 2003) с использованием рациональных аппроксимаций («ring-shape invariant set»). По-видимому, феномен следует интерпретировать как внутренний кризис определенного типа, приводящий к рождению СНА.
Переход к СНА в модели с касательной бифуркацией
Настоящим аналогом касательной бифуркации и перемежаемости по Помо и Манневиллю служит переход в отображении окружности (Feudel et al, 1995; Osinga et al., 2001), а также в модели, основанной на дробно-линейном отображении с модификацией, обеспечивающей присутствие механизма возврата (Kuznetsov, 2002):
Оказывается, что существует критическое значение амплитуды воздействия, ec, такое, что переход при увеличении параметра b, носит существенно разный характер при e<ec и e>ec.
Замечание. В модели, основанной на дробно-линейном отображении, критическое значение e точно равно 2, что находит объяснение при формулировке задачи в терминах уравнения Харпера, для которого критическое значение ec=2 отвечает переходу локализация - делокализация.
В первом случае (см. рисунок) имеет место сближение двух гладких инвариантных кривых - устойчивой (показана зеленым) и неустойчивой (показана красным) с последующим их слиянием и исчезновением, а результатом является рождение хаоса.
Во втором случае приближение к точке бифуркации сопровождается образованием выступов ("шипов") на инвариантных кривых, и в момент бифуркации они касаются друг друга остриями этих шипов (см. рисунок ниже). В силу эргодичности динамики фазовой переменной, точки касания образуют плотное множество, так что возникающий в момент бифуркации объект фрактальный. О данной бифуркации говорят как о фрактальном столкновении торов, ее результатом является рождение СНА.
