главная наука только эта страница

Ренормгрупповой анализ квазипериодичности с отношением частот "золотое среднее"

азбука
метод ренормгруппы
РГ-анализ перехода к хаосу через удвоения периода

Рассмотрим квазипериодическую динамику в предположении, что отношение двух основных частот задано золотым средним - иррациональным числом . Известно, что его наилучшая аппроксимация достигается использованием подходящих дробей F_m-1/F_m, где F_m - числа Фибоначчи: F₀=0, F₁=1, F_m+1= F_m + F_m-1. Идея состоит в том, чтобы рассмотреть последовательность операторов эволюции для интервалов времени, заданных числами Фибоначчи.

Пусть и - операторы эволюции некоторого отображения на временах F_m и F_m-1, соответственно. В силу определения чисел Фибоначчи имеем . На каждом шаге построения m введем свою нормировку динамической переменной на фактор , так что оператор эволюции за F_m шагов будет представлен функцией . Тогда уравнение, определяющее последовательность функций g_m, запишется в виде

(1)

При надлежащем выборе масштабного фактора () неподвижная точка этого уравнения - функция, имеющая в начале координат кубическую точку перегиба. Она отвечает за тип критического поведения GM, обнаруженный в работах Шенкера, Фейгенбаума-Каданова-Шенкера и Рэнда-Остланда-Сeсна-Сиггиа. Он реализуется, в частности, в отображении окружности на пороге разрушения квазипериодического режима с числом вращения w. Если искать решение вблизи неподвижной точки , то получается уравнение

.(2)

Относительно h_m(x) оно линейное, решение можно искать в виде . Это приводит к задаче на собственные функции и собственные значения. Имеется два существенных собственных числа, которые превышают по абсолютной величине единицу, и выступают в качестве факторов скейлинга на плоскости параметров.

Пусть теперь мгновенное состояние системы задается двумя переменными (x, u), а эволюция за F_m шагов дискретного времени описывается уравнениями ,. Если ввести перенормированные функции , то их последовательность будет даваться рекуррентным соотношением, которое является обобщением уравнения (1)

(3)

Неподвижные точки этого уравнения отвечают за типы критического поведения TF и TCT, а цикл периода 3 - за тип TDT. Указанные типы критичности встречаются в задаче о квазипериодическом воздействии на одномерные отображения и обнаружены в наших совместных исследованиях с группой из университета Потсдама (Пиковский, Фойдель, Нойман).

главная наука азбука только эта страница в начало