главная
наука
только эта страница
азбука
метод ренормгруппы
РГ-анализ перехода к хаосу через удвоения периода
Рассмотрим квазипериодическую динамику в предположении, что отношение двух
основных частот задано золотым средним - иррациональным числом .
Известно, что его наилучшая аппроксимация достигается использованием подходящих
дробей Fm-1/Fm, где Fm
- числа Фибоначчи: F0=0, F1=1, Fm+1=
Fm + Fm-1. Идея состоит в том, чтобы
рассмотреть последовательность операторов эволюции для интервалов времени, заданных
числами Фибоначчи.
Пусть
и
- операторы
эволюции некоторого отображения на временах Fm и Fm-1,
соответственно. В силу определения чисел Фибоначчи имеем
.
На каждом шаге построения m введем свою нормировку динамической переменной
на фактор
,
так что оператор эволюции за Fm шагов будет представлен функцией
. Тогда
уравнение, определяющее последовательность функций gm, запишется
в виде
(1)
При надлежащем выборе масштабного фактора ()
неподвижная точка этого уравнения - функция, имеющая в начале координат кубическую
точку перегиба. Она отвечает за тип критического поведения GM,
обнаруженный в работах Шенкера, Фейгенбаума-Каданова-Шенкера и Рэнда-Остланда-Сeсна-Сиггиа.
Он реализуется, в частности, в отображении окружности на пороге разрушения квазипериодического
режима с числом вращения w. Если искать решение вблизи неподвижной точки
, то получается
уравнение
.
(2)
Относительно hm(x) оно линейное, решение можно искать
в виде .
Это приводит к задаче на собственные функции и собственные значения. Имеется
два существенных собственных числа, которые превышают по абсолютной величине
единицу, и выступают в качестве факторов скейлинга на плоскости параметров.
Пусть теперь мгновенное состояние системы задается двумя переменными (x,
u), а эволюция за Fm шагов дискретного времени описывается
уравнениями ,
.
Если ввести перенормированные функции
,
то их последовательность будет даваться рекуррентным соотношением, которое является
обобщением уравнения (1)
(3)
Неподвижные точки этого уравнения отвечают за типы критического поведения TF и TCT, а цикл периода 3 - за тип TDT. Указанные типы критичности встречаются в задаче о квазипериодическом воздействии на одномерные отображения и обнаружены в наших совместных исследованиях с группой из университета Потсдама (Пиковский, Фойдель, Нойман).
главная
наука
азбука
только
эта страница
в
начало