теоретической нелинейной динамики
Вынужденная синхронизация
трех связанных осцилляторов
Система возбуждаемых внешним
сигналом трех диссипативно связанных
осцилляторов Ван-дер-Поля описывается уравнениями:
Здесь 
– параметр возбуждения
автономных осцилляторов, 
и 
– частотные расстройки второго и третьего
осцилляторов относительно первого, 
– коэффициент диссипативной связи, B – амплитуда воздействия, 
– его
частота. Частота первого осциллятора принята за единицу.
В рамках традиционных
приближений можно получить уравнения для фаз осцилляторов относительно внешнего
сигнала:
Здесь введены относительные фазы осцилляторов 
, 
.
Полная синхронизация трех осцилляторов внешней силой
Условия
полной синхронизации трех осцилляторов внешней силой находим, полагая в (2) 
. Полученные уравнения можно разрешить относительно синусов
фаз:
Решения
каждого из уравнений (3) появляются парами, так что в трехмерном пространстве 
состояния равновесия
располагаются в вершинах параллелепипеда. Таким образом, в режиме полной
синхронизации система имеет восемь состояний равновесия. При этом только одно
из них устойчиво и отвечает за режим полной синхронизации. Все равновесия
соединены гетероклиническим контуром, как схематически показано на рисунке.
При
выполнении одного из условий
две
соответствующие грани параллелепипеда сливаются. При этом одновременно попарно
сливаются все восемь состояний равновесия, и полная синхронизация разрушается. В
результате такой бифуркации возникают устойчивые и неустойчивые инвариантные
кривые в трехмерном фазовом пространстве. Первая отвечает за режим двухчастотной
квазипериодичности. В свою очередь, устойчивая и неустойчивая кривая могут
слиться с возникновением трехчастотной квазипериодичности, которой будут
отвечать некоторые поверхности в фазовом пространстве. В фазовом пространстве
может возникнуть также поток фазовых траекторий, который отвечает четырехчастотной
квазипериодичности. Наконец,
размерность фазового пространства, равная трем, оказывается достаточной
для возникновения хаотической динамики.
Обратимся
к устройству области полной синхронизации на плоскости параметров частота –
амплитуда воздействия
, определяемому условиями (4). Значения собственных частот
осцилляторов в использованных безразмерных параметрах относительно частоты
первого осциллятора определяются соотношениями
, 
, 
.
Первое
условие (4) задает на плоскости язык с вершиной,
отвечающей центральной частоте трех осцилляторов
.
Второе
условие (4) определяет полосу, центр которой отвечает частоте взаимного захвата
второго и третьего осцилляторов
,
а
ширина 
определяется величиной
связи.
Третье
условие (4) также задает полосу, центр которой отвечает собственной частоте
третьего осциллятора 
, а ширина точно равна константе связи .
При
вариации параметров осцилляторов 
взаимное положение
языка и двух указанных полос будет меняться, так что реализуются три
характерных варианта:
a) полосы
имеют общую область, которая захватывает вершину языка,
b) полосы
имеют общую область, однако она не захватывает вершину языка,
с) обе полосы не имеют общей области.
В
случае (a) в системе возможен полный захват трех осцилляторов
внешней силой, причем амплитудный порог синхронизации отсутствует. В случае (b) полный захват также возможен, но имеет место его
порог по амплитуде. В случае (c) полный захват не возможен. Таким образом,
особенность системы из трех осцилляторов состоит в том, что их «внутренние»
параметры можно настроить так, что полный захват внешней силой не возможен ни
при каких значениях частоты и амплитуды сигнала.
Отменим,
что ситуация (а) отвечает случаю,
когда три автономных осциллятора демонстрирую
режим полной взаимной синхронизации, а случаи (b),(c) – биений.
От языков Арнольда – к синхронизации трехчастотных
колебаний
На
следующем рисунке показаны карты ляпуновских показателей системы (2) на
плоскости параметров частота – амплитуда воздействия . Параметры автономных осцилляторов выбраны отвечающие трем выявленным
ситуациям a), b), с).
В случае большой связи
осцилляторов (a) вид карты визуально
аналогичен случаю
возбуждения двух осцилляторов.
(Более детальный анализ типов двухчастотных режимов выявляет, однако,
определенные отличия, см. ниже.)
При умеренной связи (b)
появляются два новых типа режимов – четырехчастотные квазипериодические
колебания и хаос. Они тестируются по спектру ляпуновских
показателей, соответственно, как 
и 
. Эти типы динамики
приходят на смену областей трехчастотных торов. В области небольших амплитуд
воздействия, в нижней части карты на смену двухчастотной квазипериодичности
приходят трехчастотные режимы.
Если еще более уменьшить связь,
то четырехчастотные торы начинают доминировать (с) и в значительной мере
вытесняют области хаоса. Они также
вытесняют трехчастотные в нижней части карты. Режим полной синхронизации
осцилляторов исчезает, а вместо него наблюдается лишь узкая полоса двухчастотных
торов в окрестности собственной частоты второго осциллятора 
.
Карты торов
Для более детального описания и
классификации наблюдаемых режимов можно дать иллюстрации устройства
пространства параметров в виде карт двухчастотных торов. Для этого при
фиксированных параметрах системы определяем числа p, q и r существенных пересечений устойчивой инвариантной
кривой с гранями фазового куба 
После этого плоскость
параметров окрашивается в разные цвета в соответствии с числами вращения 
. Выбор цветовой палитры для чисел вращения такого типа
представляется априорно не столь очевидным. Мы использовали следующую гамму.
Сначала определялось наибольшее из трех чисел p, q, и r: M=max(p,q,r). Затем красный, зеленый и синий цвета смешивались в
пропорции:
.
Сделано
только одно исключение: для режима 1:0:1 по такому правилу получается белый
цвет, плохо различимый на картах, так что он заменен на светло-зеленый. Такие правила
дают приемлемую цветовую гамму, причем соседние на карте языки с близкими
числами вращения оказываются окрашенными в близкие цвета.
Для случая большой связи (a) в области малых амплитуд
доминируют режимы типа 
. В этом случае первый, второй и третий осциллятор
демонстрируют частичный взаимный захват, так что их относительные фазы и осциллируют, но
система в целом внешней силой не захвачена. В области больших амплитуд в левой
части карты имеется область трехчастотных торов, которую пересекают языки
резонансных двухчастотных торов. Основные типы таких торов характеризуются
числами вращения 
. Это означает, что второй и третий осциллятор взаимно
захвачены. Поэтому система в определенном смысле ведет себя как два
неавтономных осциллятора. При увеличении частоты (движение слева направо на
карте) из этих резонансов остается режим с числом вращения w=0:1:1. Это означает, что внешняя сила произвела
частичный захват первого осциллятора. При дальнейшем увеличении частоты
наступает момент, когда частично захваченным внешней силой оказывается и второй
осциллятор, а фаза третьего неограниченно растет, так что w=0:0:1. Наконец,
в области P захватываются
внешней силой все три осциллятора, при этом захват оказывается уже не
частичным, а полным. Эти особенности приводят к разрушению точки saddle node fan, в
которой для системы двух возбуждаемых осцилляторов сходятся области
трехчастотных торов и полной синхронизации.
Случай умеренной связи (b) наиболее богат различными
резонансами. В области больших амплитуд сигнала значительная часть области
резонанса w=0:1:1 оказывается
разрушенной. Вместо нее возникает целая система областей, отвечающих частичному
захвату внешним сигналом первого осциллятора, типа 0:2:3, 0:1:2, 0:1:3 и т.д. В
области малых амплитуд наиболее широкие окна отвечают резонансам типа 
, для которых взаимно
захваченным является относительное движение первого и второго осцилляторов.
В случае малой связи на рисунке
(с) область полной синхронизации трех осцилляторов внешней силой
исчезает. Двухчастотные торы практически вытеснены более высокоразмерными.
Резонансы типа w=0:1:1 и w=1:1:1, которым в предыдущих случаях отвечали самые
большие области, практически полностью исчезают. Наиболее широкое
оставшееся окно двухчастотных торов
отвечает числу вращения w=0:0:1 –
первый и второй осциллятор частично захвачены внешней силой. Эта область
приходит на смену области полной синхронизации осцилляторов. Остальные
резонансы, как правило, отвечают частичному захвату только первого осциллятора.
При малой амплитуде воздействия резонансные области, фактически, сохраняются
только при 
в виде традиционных языков, которые, однако, очень
узкие.
Литература
1. Кузнецов А.П., Сатаев И.Р., Тюрюкина
Л.В. На пути к многомерным
торам. Изв. Вузов. Прикладная нелинейная динамика. Т. 18, 2010, №6, с. 65-84.
2.
Kuznetsov A.P., .Sataev I.R, Turukina L.V.. On the road towards multidimensional tori. Communications
in Nonlinear Science and Numerical Simulation. V. 16, 2011, p. 2371–2376.