Свойства и количественные характеристики странных нехаотических аттракторов

Показатели Ляпунова

Для моделей в виде одномерных отображений с квазипериодическим воздействием нетривиальный показатель Ляпунова L один. Для СНА, как и для тора, он отрицательный. Поскольку, однако, аттрактор состоит из множества траекторий, не исключено присутствие на нем индивидуальных неустойчивых траекторий, у которых L>0 (их должно быть в определенном смысле мало, множество меры ноль, чтобы усредненная по аттрактору величина показателя Ляпунова была все же отрицательной). Например, для модели x_n+1=l th x_ncos 2pq_n, q_n+1=q_n+w (mod 1), при l>1, множество точек на оси x=0 с фазами q_n=1/4+nw образует как раз такую исключительную траекторию. Именно это свойство является отличительной чертой СНА по сравнению с тором-аттрактором. В численных расчетах о наличии неустойчивых траекторий на аттракторе можно судить, рассматривая статистику локальных показателей Ляпунова, определенных на конечном времени.

Для одномерного отображения с квазипериодическим воздействием x_n+1=f(x_n, q_n), q_n+1=q_n+w (mod 1), определим величину

где штрихом обозначена производная функции по первому аргументу, а начальная точка (x₀, q₀) предполагается расположенной на аттракторе. Проводя вычисления многократно, получим набор величин L_N, для которого можно ввести функцию распределения F(L).

Рассмотрим в качестве примера квадратичное отображение x_n+1=l - x_n²+ecos 2pq_n, q_n+1=q_n+w (mod 1).

На рисунке слева показан портрет СНА при l=0.8, e=0.45 с показателем Ляпунова L=-0.010. Рядом приведены полученные численно графики функций распределения локального показателя L_N при N=250, 500 и 1000. Они имеют вид колоколообразных кривых, причем точка расположения максимума приблизительно соответствует величине L. Ширина распределения убывает с ростом N, однако оно имеет "хвост", простирающийся в область положительных L_N. Это указывает на существование на аттракторе локально неустойчивых участков траекторий. Заметим, что доля испытаний, приводящих к положительным значениям локального показателя Ляпунова L_N, уменьшается и, очевидно, стремится к нулю с ростом N.

Показатель фазовой чувствительности

Рассмотрим возможность выявить на количественном уровне наличие характерной для СНА негладкой зависимости координатной переменной от фазы воздействия. Для этого естественно попытаться отследить временную эволюцию величины . Схема вычислений строится как совместные итерации исходного отображения и соотношения, полученного дифференцированием по фазе:

На рисунке слева показан график зависимости D_N от числа итераций, полученный для СНА в модели с f(x, q)=l th xcos 2pq при l=1.5, w=(5^1/2-1)/2. Он выглядит как набор пиков, причем высота максимального пика, зарегистрированного в течение N итераций, растет с увеличением N. На рисунке рядом представлен график зависимости этого максимума от N в двойном логарифмическом масштабе. Из него видно, что рост происходит в среднем по степенному закону. (При этом показатель степени, вообще говоря, зависит от выбранной траектории.)

Чтобы получить характеристику, относящуюся к аттрактору в целом, в работе Пиковского и Фойдель (Pikovsky and Feudel, Chaos, 5, 1995, 253) предложено определить показатель фазовой чувствительности как показатель роста для траектории, реализующей минимум этого показателя:

Для рассмотренного примера m=0,97. С другой стороны, для тора-аттрактора, очевидно, m=0. Таким образом, в принципе показатель фазовой чувствительности дает средство отличить СНА от тора.

Фрактальная структура и размерность СНА

Хотя квалификация СНА, как "геометрически странного" объекта, - один из главных моментов в его определении, вопрос о фрактальных свойствах СНА изучен довольно слабо. Согласно работе Динга с соавторами (M.Ding et al., Phys. Lett., 1989, A137, 167), СНА в модели с бифуркацией вилки и в отображении окружности с квазипериодическим воздействием имеет фрактальную размерность (емкость)

а информационную размерность

Здесь N - число элементов покрытия ячейками (боксами) размера e, p_i - вероятность пребывания в i-ой ячейке покрытия. В качестве примера приводится рисунок, на котором слева показан портрет аттрактора в отображении окружности при K=0.95, e=1.2, r=0.2841, а справа - график, использованный для оценки его размерностей. Крестиками и обозначены точки, относящиеся к оценке емкости D₀, а звездочками - к оценке информационной размерности D₁, определяемым по наклону соответствующих прямых.

Спектральные свойства СНА

Фурье-анализ - один из общепринятых способов обработки сигналов при изучении динамических процессов, в том числе в эксперименте. Говоря о типах спектров, будем рассуждать следующим образом. Имея некоторую последовательность x_n, подлежащую анализу, построим "накапливающуюся" сумму S(W,N)=Sx_neⁱWn, где W - параметр, и отследим зависимость комплексной величины S(W,N) от числа членов суммы N. Для периодических и квазипериодических последовательностей на некотором дискретном множестве значений W получаем S(W,N)~N, т.е. |S(W,N)|²~N², а для остальных W имеем |S(W,N)|²-->0. Это дискретный спектр. Для случайных или хаотических последовательностей эволюция величины S имеет характер диффузии на комплексной плоскости, при этом S(W,N)~N^1/2, и |S(W,N)|²~N. Это непрерывный спектр, такие спектры рассматриваются в теории стационарных случайных процессов Винера - Хинчина. Для последовательностей, порождаемых СНА, блуждание изображающей точки на комплексной плоскости при построении сумм S(W,N) носит фрактальный характер, образуя структуры с нетривиальными свойствами масштабного подобия (скейлинга). Асимптотическое поведение при увеличении N дается соотношением |S(W,N)|²~N^b, где показатель b располагается между 1 и 2 и зависит от W. В этом случае говорят о сингулярно-непрерывном спектре. На приведенном слева рисунке иллюстрируется случайное блуждание изображающей точки на комплексной плоскости при спектральном анализе случайного процесса (что соответствует сплошному спектру), а справа - фрактальное блуждание в случае СНА для указанных цифрами значений параметра W/2p.

Метод рациональных аппроксимаций и природа СНА

Любое иррациональное число из интервала (0,1) представляется в виде цепной дроби

где a_i - целые числа. Подходящая дробь порядка k получается, если оборвать последовательность элементов на k-ой позиции:

При этом lim r_k=r, и члены последовательности рациональных чисел r_k доставляют оптимальные приближения иррационального числа. Для "золотого среднего" имеем w=(5^1/2-1)/2=<1,1,1,...>, а подходящие дроби даются отношениями чисел Фибоначчи: F_k/F_k+1, где F₀=0, F₁=1, F_k+1=F_k+F_k-1.

Если вместо иррационального частотного параметра взять k-ю рациональную аппроксимацию:

то внешнее воздействие будет периодическим, с периодом q_k. В отличие от квазипериодического поведения, когда фазовая переменная эргодическим образом посещает плотное множество точек единичного интервала, теперь она обходит конечное множество (q₀, q₁,...q_qk-1). При этом в зависимости от q₀ будем получать, вообще говоря, разные режимы динамики и разные аттракторы. Итак, начальная фаза q₀ играет роль дополнительного параметра. Намереваясь на основе используемой рациональной аппроксимации составить представление, как будет вести себя система с иррациональной частотой, мы должны, очевидно, принимать во внимание все ситуации, которые получаются при произвольном задании q₀ в интервале от 0 до 1/q_k.

На рисунке показаны карты динамических режимов на плоскости параметров квадратичного отображения с внешним воздействием при рациональной аппроксимации (а-в) и при иррациональном значении частоты w=(5^1/2-1)/2 (г). Сравнивая карты, можно видеть, что области регулярной квазипериодической динамики на диаграмме (г) (торы T1, T2, T4) ассоциируются с областями периодических режимов (циклов) на картах (а-в). В областях, где в системе с иррациональной частотой реализуется СНА, на картах для рациональных аппроксимаций можно видеть "мельтешение" режимов разного типа в зависимости от порядка аппроксимации и от начальной фазы.

В работе Пиковского и Фойдель (Pikovsky and Feudel, Chaos, 5, 1995, 253) была высказана гипотеза, что необходимое условие существования СНА состоит в том, что при рациональной аппроксимации частотного параметра система демонстрирует бифуркации в зависимости от параметра начальной фазы, причем это свойство сохраняется при увеличении порядка аппроксимации. На качественном уровне, рассуждая в терминах систем полученных на основе рациональной аппроксимации, можно представить себе, что при иррациональном значении частоты имеем как бы медленный дрейф параметра начальной фазы, и система по ходу динамики все время претерпевает бифуркации. В этом и состоит подоплека возникновения СНА.