Олимпиады по физике

Предлагаем Вашему вниманию библиотечку, авторами которой являются сотрудники ФНП СГУ, СФ ИРЭ РАН и физфака СГУ. Представленные книжки содержат оригинальные олимпиадные задачи высокого уровня, а также введение в «исследовательскую» физику: задачи на оценки, методы размерностей и подобия, компьютерное моделирование и задачи-проблемы. Эта библиотечка поможет более глубокому пониманию физики, тренировке для участия в олимпиадах, даст представление об исследовательской работе, что окажется очень полезным для будущих студентов и аспирантов физических вузов высокого уровня. Преподаватели смогут найти также рекомендации по проведению спецкурсов в физических классах и лицеях, организации научной работы школьников.

(Чтобы скачать книжку в формате pdf, щелкните по ее обложке)

Олимпиадные задачи

1. Определите сжатие Юпитера у полюсов, ( – разность экваториального и полярного радиусов), если известно, что средний радиус Юпитера r=70000  км, ускорение свободного падения у поверхности g=20 м/с², время обращения вокруг оси T равно 10 часам. Считайте для простоты, что основная масса планеты сосредоточена в компактном центральном ядре.
2. Даны две пружины из одинакового материала, каждая из которых свита виток к витку. Диаметры пружин 3 и 9 мм, длины 1 и 7 см, диаметр проволок 0.2 и 0.6 мм. Коэффициент жесткости первой пружины 15 Н/м². Найдите коэффициент жесткости второй пружины.
3. К цепи, представляющей собой соединенные последовательно конденсатор емкости C и индуктивность L, приложено напряжение, изменяющееся во времени по закону . Определите ток, текущий по цепи.
4. На гладкой поверхности лежат 4 свинцовых шара. На них слева налетает шар со скоростью v. Все шары одинаковы, центры шаров лежат на одной прямой. Найдите скорость правого шара после всех соударений.
5. Металлический полый шар массы M заполнен резиной массы M/4. Два таких шара, двигаясь в невесомости навстречу друг другу с равными скоростями v, испытали центральное столкновение. Найдите установившуюся скорость разлета шаров. Известно, что незаполненные шары сталкивались упруго.
6. Имеются две пружины с одинаковыми упругими свойствами. Все размеры пружин одинаковы; масса же первой пружины больше, чем масса второй (m₁>m₂). Обе пружины подвешены рядом, каждая за свой конец, в поле тяжести. К нижнему концу второй пружины прикреплен груз, масса которого равна разности масс пружин. Какая из пружин растянута на большую длину?
7. При испытании новой модели электрического чайника оказалось, что вода нагревается почти до 100°С, но все же не закипает. Чайник рассчитавался конструктором на мощность нагревателя P и напряжение 110 В. Тогда чайник подключили к сети 220 В. За какое время чайник выкипит наполовину? Масса воды в чайнике M. Теплота парообразования воды c.
8. С самолета проводят серию бомбометаний. Бомба снабжена парашютом, раскрывающимся автоматически на определенной высоте. Бомба каждый раз сбрасывается над точкой О. Если самолет летит по ветру, то бомба падает на расстоянии a₁ от точки О, если против ветра - то на расстоянии a₂. Найдите координаты точки падения бомбы в случае, когда траектория движения самолета перпендикулярна направлению ветра. Скорость ветра v, скорость самолета в неподвижном воздухе V.
9. Пустая бутылка емкостью 0,5 литра весит 450 граммов. Найдите плотность стекла, если известно, что погруженная в воду бутылка тонет, будучи наполнена водой более чем на половину.
10. На столе в один ряд лежат 10 кубиков. С какой силой нужно, взявшись за два крайних руками, сдавить кубики, чтобы оторвать их от стола? Массы кубиков m, коэффициент трения кубика о кубик k.
11. Известно, что максимальная высота гор на Земле около 10 км. Оцените размер астероидов, начиная с которого они имеют приблизительно шарообразную форму. Считайте, что астероид сложен из тех же пород, что и Земля.
12. На столе стоит цилиндрический сосуд высоты h, изготовленный из металла. Сначала в него опускают один поршень, через большой промежуток времени - второй и так далее - всего 10 поршней. Найдите расстояние между первым и вторым поршнем. Масса каждого поршня и атмосферное давление p₀ связаны соотношением mg = p₀S, где S - площадь сечения цилиндра. Толщина поршней мала по сравнению с высотой сосуда. Трение мало.
13. В невесомости покоится заряженное кольцо. Из бесконечности через него пускают другое кольцо меньшего радиуса с той же массой и несущее такой же заряд. Оказалось, что малое кольцо пролетает через большое, если начальная скорость малого кольца превышает величину v₀. Какими будут скорости колец в момент пролета малого через большое, если начальная скорость малого кольца равна 2v₀? Плоскости колец перпендикулярны оси движения.
14. Две одинаковые шайбы массы M каждая скреплены невесомой пружиной и лежат на плоскости. Коэффициент трения между шайбами и плоскостью равен k, а трение пружины о плоскость отсутствует. Плоскость начинают медленно наклонять так, что пружина сохраняет горизонтальное расположение. При каком угле наклона плоскости к горизонту шайбы начнут скользить по ней? Первоначальная сила натяжения пружины T₀.
15. На гладкой горизонтальной поверхности лежит мишень массы 9 кг. С интервалом в t=1 с в нее попадают и застревают 4 пули, первая из которых летит с юга, вторая - с запада, третья - с севера и четвертая с востока. На сколько и в какую сторону сместится в итоге мишень? Масса каждой пули 9г, скорость v= 200 м/с.
16. Вокруг звезды "Икс" вращаются две планеты массы M = 6 10²⁴ кг каждая, состоящие из несжимаемой жидкости плотности 1000кг/м³. Одна из планет электрически нейтральна, а по объему второй равномерно распределен электрический заряд Q =10000 Кл. Найдите отношение давлений в центре планет.
17. Наблюдая Землю, марсианский астроном видит, что Солнцем освещена ровно половина видимого диска. Найдите расстояние от Марса до Земли, если известно, что Земля и Марс находятся на расстоянии 147 и 245 миллионов километров от Солнца.
18. Снаряд, выпущенный со скоростью v₀ из пушки, находящейся на поверхности земли, разорвался на два одинаковых осколка. Один из них полетел вертикально вверх, а второй - горизонтально, оба со скоростями v₀/2. На какой высоте произошел взрыв?
19. Внутри полого шара массы М с внутренним радиусом 5 см находится маленький шарик массы М/10. Снаружи на большой шар налетает еще один маленький шарик массы М/10 со скоростью 2 м/с. Найдите период колебаний малого шара внутри большого, которые возникнут в итоге. Все удары центральные и абсолютно упругие. Опыт проводится в невесомости.
20. Внутри сосуда объема V помещена резиновая оболочка объема V/4. И сосуд, и оболочка заполнены идеальным газом. В начальном состоянии температура газа T₀ и оболочка не растянута. Когда газ внутри оболочки нагрели до температуры T₁, сохраняя температуру остального газа неизменной, оболочка раздулась, и ее объем увеличился вдвое. До какой температуры нужно охладить газ в сосуде, поддерживая температуру T₀ внутри оболочки, чтобы она раздулась до тех же размеров? Считать, что упругие свойства оболочки не зависят от температуры.
21. Из вершин правильного шестиугольника со стороной 1 м одновременно пускают по направлению к центру шесть одинаковых заряженных частиц. Начальная скорость частиц 1 м/с. Когда расстояние между частицами уменьшилось в два раза, то скорость каждой также уменьшилась вдвое. До какого минимального расстояния сблизятся частицы?
22. Имеется сосуд, содержащий два одинаковых отсека с клапаном на перегородке. Конструкция клапана такова, что он открывается, если разность давлений превышает определенную величину р, остается открытым в течение времени, достаточного для установления теплового равновесия во всем сосуде, а потом закрывается. Первоначально в обоих отсеках находится одинаковое количество идеального одноатомного газа при давлении р и температуре Т. Газ в левом отсеке начинают нагревать до тех пор, пока не откроется клапан. Затем нагрев прекращают и возобновляют его, после того, как клапан закроется. Какова будет температура газа, когда клапан закроется в четвертый раз?
23. На гладком горизонтальном столе лежат шесть одинаковых бильярдных шаров, расположенных в вершинах правильного шестиугольника. Седьмому такому же шару сообщают начальную скорость v и пускают его вдоль одной из сторон шестиугольника так, чтобы он испытал соударения со всеми шестью шарами, после чего двигался бы по прямой, являющейся продолжением первоначальной траектории. Какой будет его конечная скорость? Все удары абсолютно упругие, шары свободно катятся без трения по поверхности стола.
24. Плывущая по реке с постоянной скоростью баржа тянет под водой на тросах два шарообразных контейнера одинакового размера, но разного веса. Угол отклонения первого троса от вертикали 45°, а второго 30°. Когда скорость баржи уменьшилась, угол отклонения первого троса составил 30°. Каков стал угол отклонения от вертикали второго троса?
25. Предложена модель молекулы водорода: два протона находятся на некотором расстоянии друг от друга, а два электрона движутся симметрично по круговой орбите радиуса 64 10^-12 м в плоскости, перпендикулярной к соединяющей протоны оси. Найдите расстояние между протонами, при котором они пребывают в равновесии. Заряды электрона и протона равны по величине и противоположны по знаку.
26. На дощечке длины L в ряд по росту поставлены 4 матрешки. При этом самая маленькая и самая большая стоят на краях; каждая меньшая матрешка находится от своей большей соседки на расстоянии, равном своему росту. Как далеко от края дощечки следует расположить опору, чтобы система пребывала в равновесии? Все матрешки геометрически подобны друг другу и изготовлены из одного и того же материала. Рост каждой следующей матрешки в А раз больше предыдущей.
27. Два колеса радиуса R и R/2 установлены в вертикальной плоскости так, что касаются друг друга и могут вращаться вокруг своих осей без проскальзывания. На ободе каждого колеса укреплено по одному маленькому массивному грузику одинаковой массы. Первоначально грузик на большом колесе находится в крайнем левом, а на малом - в нижнем положении. Если колеса отпустить, то на какой угол повернется большое колесо при достижении равновесия?
28. В поставленном вертикально цилиндрическом сосуде на высоте h удерживают массивный поршень так, что давление идеального газа в сосуде равно атмосферному давлению р. Внутри помещен еще один сосуд вдвое меньшего радиуса, заполненный тем же газом под вторым поршнем, который находится в равновесии на высоте h /2. При этом давление внутри малого сосуда составляет (5/4)р. Если поршень в большом сосуде отпустить, то как расположатся поршни в равновесии? Массы обоих поршней одинаковы. Оба сосуда изготовлены из материала, хорошо проводящего тепло, температура окружающей среды постоянна.
29. Из куска проволоки с сопротивлением 5 Ом изготовлено кольцо. Где надо присоединить к кольцу провода, чтобы сопротивление между точками их подсоединения оказалось равным 1 Ом?
30. Имеются два подобных друг другу гальванических элемента, изготовленных из идентичных материалов, все размеры которых отличаются в 2 раза. Как соотносятся электрические характеристики этих элементов: ЭДС, внутреннее сопротивление, эффективное время работы на постоянную нагрузку ?
31. На одном берегу реки находится деревня А и ниже по течению деревня В, а на другом берегу - деревня С, так что все три деревни расположены в вершинах равнобедренного треугольника с углом j при основании АВ. Лодочник из деревни А хочет посетить деревни В и С и вернуться назад. По какому маршруту он должен отправиться, чтобы сэкономить время? Исследуйте вопрос в зависимости от соотношения между скоростью лодки в стоячей воде v и скоростью течения реки U.
32. Межзвездная экспедиция обнаружила планету, похожую на Землю, имеющую ту же массу М и радиус R. Оказалось, однако, что половина массы сосредоточена в ядре радиуса R/2, центр которого смещен на R/4 относительно центра планеты. В каких пределах изменяется ускорение силы тяжести на поверхности планеты?

В течении нескольких десятков лет в Саратове проводятся олимпиады школьников по физике. Значимым стал 1975 год, когда по инициативе членов Совета молодых ученых и аспирантов Кузнецова С.П., Кузнецова А.П. (в настоящее время профессора ФНП и сотрудники СФ ИРЭ РАН), Мельникова Л.А, Дербова В.Л. (в настоящее время профессора физфака), Осина А.Б. (директор «Техносерв»), Рожнева А.Г. (доцент ФНП), Венига С.Б. (декан ФНБМТ, профессор), Стольница М.М. и др. для олимпиад стали предлагаться оригинальные задачи высокого уровня. Оргкомитет олимпиад стал своего рода научным клубом для его участников, который в увлекательных дискуссиях и общении определил уникальный стиль саратовских олимпиадных задач. Активными членами оргкомитета стали Шевцов В.Н. (доцент физфака), Савин А.В., Князев А.А. (доценты ФНП), Селезнев Е.П. (профессор ФНБМТ и сотрудник СФ ИРЭ РАН), Савин Д.В. (ФНП), Татарков Г.Н. (ныне директор ФТЛ) и др. Для талантливых учеников решение задач явилось хорошей подготовкой для участия во Всесоюзных, Всероссийских и Международных олимпиадах, а также для поступления в СГУ, МФТИ, МГУ и другие вузы.