главная только эта страница

Задачи по курсу
"Теория катастроф"

образование
программа курса

Темы задач

1. Ряд Тейлора и модели.
2. Понятие типичности и коразмерности.
3. "Игрушки" теории катастроф.
4. Критические точки функций одной переменной.
5. Криические точки функций двух переменных.
6. Катастрофа коразмерности один - складка.
7. Катастрофа коразмерности два - сборка. Примеры задач.
8. Катастрофа коразмерности три - ласточкин хвост.
9. Каспоидные катастрофы в двумерных системах.
10. Катастрофа коразмерности три - эллиптическая омбилика.
11. Катастрофа коразмерности три - гиперболическая омбилика.
12. Катастрофы и теория упругости.
13. Катастрофы и физика фазвых переходов.
14. Каустики и волны.
15. Колебания.

(всего подготовлено 109 задач)

Компьютерный практикум

1. Многообразия каспоидных катастроф.
2. Бифуркационные множества простейших систем.
3. Качалка.
4. Колебания осциллятора в потенциале с двумя ямами. Примеры задач.
5. Ласточкин хвост.
6. Каспоидные катастрофы в двумерных системах.
7. Эллиптическая омбилика.
8. Гиперболическая омбилика.
9. Гладкие кривые с особенностями.
10. Особенности волновых фронтов.
11. Двумерный маятник в поле трех притягивающих тел. Примеры задач.
12. Нелинейный резонанс.
13. Каустики в чашке.
14. Миражи.
15. Радуга.
16. Каустики в электронном потоке.

(всего подготовлено 17 задач)

Задачи по теме "Катастрофа коразмерности два - сборка"

45. Шарик массы m может без трения скользить по стержню, наклоненному под углом к горизонту. Шарик прикреплен к пружине жесткости k, второй конец которой неподвижно зафиксирован на расстоянии a от стержня в точке, принадлежащей проходящей через стержень вертикальной плоскости (рисунок). Длина пружины в нерастянутом состоянии l. Как трансформируется при изменении параметров вид зависимости потенциальной энергии от координаты шарика x, отсчитываемой вдоль стержня? Найдите линии складок и точку сборки на плоскости параметров , l/a.

46. Маленькая бусинка массы m может без трения скользить по тонкому проволочному кольцу радиуса R (рисунок). Кольцо вращают с частотой вокруг вертикальной оси, проходящей через плоскость кольца на расстоянии a от его центра. Проследите за трансформацией зависимости потенциальной энергии бусинки от ее координаты во вращающейся системе отсчета. Найдите линии складок и точку сборки на плоскости параметров a, .

47. На рисунке показана система, представляющая собой маятник в верхнем положении равновесия, прикрепленный к пружине. Покажите, что если пружина линейна и ее коэффициент жесткости k невелик, то положение равновесия неустойчиво. Покажите, что если пружина нелинейная, то в системе возможна каттастрофа сборки. Считайте, что нелинейность пружины описывается соотношением , где k и c — положительные коэффициенты, а угол отклонения маятника от вертикали мал. Длина стержня l, масса шарика m.

48. Изобразите поверхность, задаваемую уравнением газа Ван-дер-Ваальса в пространстве давление P, объем V, температура T и обсудите ее устройство с точки зрения теории катастроф. С помощью компьютера или калькулятора постройте линии складок и точку сборки в координатах P/P_к, T/T_к , где P_к и T_к - известные из термодинамики критические значения температуры и давления. На этом же графике постройте аппроксимацию в виде "полукубического" острия.

49. На рисунке показана вольт-амперная характеристика полупроводникового радиотехнического элемента — туннельного диода. Такой диод включен в цепь, содержащую регулируемую э.д.с. E с внутренним сопротивлением R.

Найдите точку сборки и линии складок на плоскости параметров E и R.. Используйте кубическую аппроксимацию вольт-амперной характеристики , где a, b и c — коэффициенты.

50. Параметры системы, демонстрирующей катастрофу сборки, медленно изменяют так, что точка на плоскости параметров обходит сборку 5 раз (см. рис.). Сколько жестких переходов происходит в системе? Для маршрутов на рис. изобразите качественно зависимость состояния системы от параметра, отсчитываемого вдоль этих маршрутов.

51. Как будет вести себя качалка, если прикрепить магнит в точке сборки?

52. Чем отличаются свойства нелинейного осциллятора в случаях, когда зависимость потенциальной энергии от координаты имеет катастрофу сборки и двойственной сборки?

53. Изобразите различные возможные проекции тора на плоскость. Укажите точки сборки, которые возникают при таком проецировании. Обсудите проблему устойчивости сборок при малом шевелении тора.

54. Покажите, что траектория точки на ободе колеса, катящегося без проскальзывания, имеет острия с характерной "полукубической" особенностью.

Задача компьютерного практикума по теме "Колебания осциллятора в потенциале с двумя ямами"

Постройте фазовые портреты консервативного и диссипативного осциллятора в потенциале, отвечающем катастрофе сборки U(x)=x⁴/4+ax²/2+bx. Создайте программу, демонстрирующую вид потенциала и фазовые портреты в различных точках плоскости a,b. Предварительно нанесите на нее линии складок и точку сборки. За эволюцией картинок удобно наблюдать, если изменение параметров (координаты выделенной на экране точки) осуществлять с помощью "мыши".

Задача компьютерного практикума по теме "Двумерный маятник в поле трех притягивающих тел"

Рассмотрите движение двумерного маятника с затуханием, помещенного в центре равностороннего треугольника, в вершинах которого находятся три притягивающих центра (магниты, гравитационные массы и др.) Считайте, что потенциал отвечает закону всемирного тяготения. Изобразите картину линий уровня такого потенциала и его рельеф. Покажите, что вблизи центра он отвечает катастрофе эллиптическая омбилика. Постройте несколько характерных траекторий маятника. Найдите бассейны притяжения положений равновесия маятника.

главная образование только эта страница в начало