главная
только эта страница Автор: д.ф.-м.н., профессор Кузнецов А.П.
18 лекций
образование
задачи и компьютерный практикум
1.1 Аппроксимации в математике и физике и стратегия конструирования многопараметрических моделей. Идея аппроксимации в математике. Аппроксимации в физике и физические модели. Ряд Тейлора и его использование для конструирования многопараметрических моделей, примеры. Полнота и универсальность моделей, получаемых при помощи Тейлоровских аппроксимаций.
1.2 Типичность по Пуанкаре и связанные с ней понятия. Интуитивное представление о типичности. Случаи общего положения и вырожденые случаи. Метод "малых шевелений" параметров. Классификация вырожденных ситуаций по коразмерности. Примеры ситуаций различной коразмерности. Стратегия Пуанкаре исследования динамических систем по возрастающей коразмерности. Понятие грубых (структурно устойчивых) систем.
1.3 Первые сведения о катастрофах. Примеры систем с катастрофами: материальная точка в одномерном и двумерном потенциальном поле, нагруженная балка, остойчивость судов и др. Машина Зимана и качалки. Связь и отличия теории катастроф и теории бифуркаций.
1.4 Критические точки функций одной переменной. Критические точки и их роль при исследовании катастроф и бифуркаций. Некоторые простейшие критические точки функций одной переменной. Исследовательская схема теории катастроф - выявление существенных параметров, роль замен переменных, классификация критических точек по коразмерности - на примере анализа простейших полиномов.
1.5 Критические точки функций двух переменных. Графическое представление функций двух переменных с помощью линий уровня. Примеры: горизонтали и карты, эквипотенциали, фазовые портреты. Критические точки функций двух переменных, примеры . Матрица Гессе и примеры ее использования для различения вырожденных критических точек. Квадратичные формы и их классификация.
1.6 Кубики и их классификация. Типичные критические точки на картах. Случай n-переменных и определение морсовской критической точки (морсовского седла).
1.7 Математические основы теории катастроф. Лемма Морса. Лемма расщепления. Классификационная теорема Тома. Ростки и возмущения. Полнота и универсальность моделей теории катастроф.
2.1 Катастрофа складки. Схема исследования катастроф на примере складки (многообразие катастрофы, бифуркационное множество, трансформации потенциальной функции). Катастрофа складки в системе двух притягивающихся токов. Другие примеры систем, демонстрирующих катастрофу складки.
2.2 Катастрофа сборки. Исследование катастрофы сборки. Двойственные сборки. Примеры катастрофы сборки: "опрокидывающийся маятник" с нелинейной пружиной, критическая точка газа Ван-дер-Ваальса, туннельный диод в схеме с регулируемыми сопротивлением и э.д.с. Другие примеры катастрофы сборки. Катастрофа сборки и теория гладких отображений Уитни. Сборки как особенности простейших кривых. Эволюта параболы и ее описание в терминах многообразия катастрофы сборки. Линейчатые поверхности.
2.3 Катастрофа ласточкин хвост. Исследование катастрофы ласточкин хвост. Пример системы, демонстрирующей катастрофу ласточкин хвост .
2.4 Каспоидные катастрофы в двумерных системах. Катастрофа складки в двумерной системе на примере задачи о "выкатывании" шарика из лунки. Эволюция потенциального рельефа, линий уровня и сепаратрис при катастрофе складки в двумерных системах. Физически различимые типы катастроф сборки в двумерных системах, примеры. Эволюция линий уровня и сепаратрис при катастрофе сборки. Поиск каспоидных катастроф в двумерных системах и особенности их приведения к канонической форме (возможность катастрофы сборки в случае кубического потенциала).
Понятие о нелокальных бифуркациях на примере модельного потенциала. Трансформации потенциального рельефа и линий уровня при простейшей нелокальной бифуркации коразмерности один. Почему нелокальные бифуркации не относятся к катастрофам? Понятие нелокального бифуркационного множества. Нелокальное бифуркационное множество при катастрофе сборки в двумерных системах . Маятник между двух заряженных нитей, как пример системы, характеризующейся нелокальным бифуркационным множеством.
2.5 Катастрофы эллиптической и гиперболической омбилик. Исследование катастрофы эллиптической омбилики. Нелокальное бифуркационное множество катастрофы эллиптической омбилики. Пример системы, демонстрирующей катастрофу эллиптической омбилики. Эксперименты Тейлора, картина течений для n-валковых "мельниц". Исследование катастрофы гиперболической омбилики.
3.1 Задача о выпучивании упругого стержня. Как описать задачу о выпучивании стержня с помощью конечномерной потенциальной функции? (Метод Рэлея-Ритца). Вырожденная катастрофа сборки в задаче о выпучивании стержня. Степенные законы в окрестности точки катастрофы. Влияние асимметрии. Бифуркационные диаграммы в случаях симметричного и несимметричного выпучивания. Выпучивание стержня в многомодовом приближении.
3.2 Фазовые переходы и катастрофы. Теория Ландау фазовых переходов второго рода: термодинамический потенциал и параметр порядка, разложение термодинамического потенциала в ряд по параметру порядка. Вырожденная катастрофа сборки и фазовые переходы второго рода. Законы изменения термодинамических функций в окрестности точки катастрофы. Фазовые переходы во внешнем поле и полная катастрофа сборки ("размывание" перехода второго рода, переходы первого рода, метастабильные состояния). Критическая точка фазового перехода второго рода. Эволюция термодинамического потенциала как функции параметра порядка в окрестности этой точки. Трикритический потенциал и трикритическая точка. Устройство пространства параметров в окрестности трикритической точки. Понятие о мультикритических явлениях.
3.3 Катастрофы в геометрической оптике. Каустики. Опыты с цилиндрической чашкой. Каустики и сборки при отражении света. Применение принципа Ферма для объяснения природы катастрофы сборки при отражении света от цилиндрической поверхности. Приведение к канонической форме в симметричном случае. Другие примеры каустик и сборок в оптике (прохождение лазерного луча через неоднородную каплю, сферическая аберрация, миражи, отражение света от кристалла и др.) Гигантские океанские волны и их каустики и сборки.
главная
образование
только эта страница
в начало