главная только эта страница

Задачи по курсу
"Нелинейные колебания"

образование
программа курса

Темы задач

1. Линейность и нелинейность.
2. Нелинейные элементы
3. Зависимость периода нелинейных колебаний от амплитуды.
4. Особенности спектров нелинейных систем.
5. Мультистабильность и гистерезис.
6. Динамические системы. Консервативные и диссипативные системы.
7. Фазовые портреты нелинейных систем.
8. Нелинейный осциллятор. Приближение слабой нелинейности. Примеры задач.
9. Нелинейный осциллятор. Движение вблизи сепаратрисы.
10. Метод медленно меняющихся амплитуд.
11. Быстрые и медленные движения в случае сильной диссипации. Автоколебательные системы.
12. Уравнения Ван-дер-Поля и Рэлея.
13. Жесткое возникновение автоколебаний.
14. Релаксационные колебания.
15. Сечение Пуанкаре. Одномерные дискретные отображени

(всего подготовлена 101 задача)

Компьютерный практикум

1. Фазовые портреты нелинейных систем.
2. Нелинейные преобразования сигналов и спектров.
3. Математический маятник. Условие задачи.
4. Нелинейный резонанс.
5. Система Ван-дер-Поля. Жесткое возникновение автоколебаний.
6. Фазовая синхронизация.
7. Метод дискретных (точечных) отображений.

(всего подготовлено 7 задач)

Задачи по теме "Нелинейный осциллятор. Приближение слабой нелинейности"

42. Квадратная рамка, по которой течет ток I, может вращаться без трения вокруг оси ОО’ (рисунок). Рамка помещена в однородное магнитное поле с индукцией B, перпендикулярное оси рамки. Покажите, что колебания рамки описываются уравнением математического маятника. Масса рамки m.

43. Приведите приближенно задачу о движении частицы массы m в потенциальной яме вида к модели осциллятора с кубической нелинейностью. В рамках этой модели найдите зависимость периода колебаний от частоты. Сравните полученный результат с точным (задача 10), построив соответствующую таблицу.

44. Шарик массы m, несущий положительный заряд q, может без трения скользить по непроводящей спице (рисунок).

Спица проходит через центр неподвижного кольца перпендикулярно его плоскости. Кольцо несет отрицательный заряд -Q. Радиус кольца равен R. Представьте эту систему в виде модели нелинейного осциллятора с кубической нелинейностью. Какие особенности динамики системы такая модель передает верно, а какие нет? Оцените относительное изменение частоты колебаний по сравнению с линейным случаем, если амплитуда колебаний равна R/3.

45. С помощью модели осциллятора с кубической нелинейностью оцените угловую амплитуду колебаний математического маятника, для которой период на 1% отличается от значения, предсказанного линейной теорией.

46. С помощью модели осциллятора с кубической нелинейностью оцените отношение первой и третьей гармоник в спектре математического маятника, совершающего колебания с угловыми амплитудами и .

47. Найдите поправку к частоте линейных колебаний для математического маятника. Покажите, что в первом порядке по квадрату амплитуды полученная оценка согласуется с известным результатом, отвечающим аппроксимации математического маятника осциллятором с кубической нелинейностью. Оцените период колебаний с угловой амплитудой . Сравните найденное значение с точным и оценкой для осциллятора с кубической нелинейностью. (Указание. Используйте формулу для разложения функции sin(xsin) в ряд по функциям Бесселя.)

48. Маятник в верхнем положении равновесия прикреплен к нелинейной пружине (см. задачу 21). Нелинейность пружины описывается соотношением , где k и c - положительные коэффициенты. Угол отклонения маятника от вертикали мал, длина стержня l, масса шарика m. Какой из универсальных моделей нелинейного осциллятора следует пользоваться при и при ? Получите уравнения соответствующих моделей в явном виде, оцените поправку к частоте и величину смещения центра колебаний относительно положения равновесия. Амплитуда колебаний A.

49. Молекула может совершать колебательные движения в поле, заданном потенциалом Леннарда-Джонса. Представьте такую систему в виде модели нелинейного осциллятора с квадратичной нелинейностью. Используя эту модель, оцените увеличение расстояния между молекулами, совершающими колебания с амплитудой a. На основании полученной оценки, объясните механизм теплового расширения твердых тел.

50. Найдите поправку к частоте линейных колебаний для осциллятора, описываемого уравнением

Задача компьютерного практикума по теме "Математический маятник"

Проведите следующее исследование уравнения математического маятника :

а) создайте анимационную программу, демонстрирующую движение маятника;

б) постройте зависимость от времени координаты и скорости, пронаблюдайте колебания с малой амплитудой и движение вблизи сепаратрисы; для случая умеренных колебаний постройте другим цветом график, отвечающий решению, полученному методом медленно меняющихся амплитуд, и сравните его с точным; тоже для движения вблизи сепаратрисы;

в) постройте график зависимости периода колебаний от амплитуды; используйте для этого либо точное выражение через эллиптический интеграл, либо метод Эно, в рамках которого исходное уравнение численно решается до начала повторений; постройте соответствующий график и сравните его с выражением в приближении слабой нелинейности;

г) постройте спектр Фурье скорости колебаний и пронаблюдайте его эволюцию с ростом амплитуды: от малых колебаний до движения вблизи сепаратрисы; в последнем случае сравните численный результат с соответствующим аналитическим решением;

д) постройте фазовый портрет консервативного и диссипативного осцилляторов, пронаблюдайте его эволюцию с ростом параметра диссипации.

главная образование только эта страница в начало