главная только эта страница

Нелинейные колебания

Авторы: д.ф.-м.н. Кузнецов С.П., д.ф.-м.н Кузнецов А.П.

17 лекций

образование
задачи и компьютерный практикум

Нелинейность. Колебания малой и большой амплитуды,  линейные и нелинейные.   Нелинейность при упругих  деформациях, нелинейность пружин. Нелинейная емкость,    нелинейная индуктивность и их характеристики.  Другие  примеры  нелинейных элементов: лампа накаливания, туннельный диод и др.  Нелинейные колебательные  системы. 

Слабая и сильная нелинейность. Слабая нелинейность как малое возмущение  линейной  системы.  Типы  нелинейных  характеристик (квадратичная,  кубичная).  Сильная  нелинейность. Физические примеры систем со слабой и с сильной нелинейностью. 

Нелинейные среды. Ферромагнетик как пример нелинейной среды. Нелинейные  среды  в  акустике  и  оптике. Среды-модели  с нелинейностью. 

Изохронность и неизохронность. Понятие изохронности и неизохронности.  Примеры  систем  с   неизохронным  движением: "скачущий мячик", математический маятник,  кеплерово  движение, релятивистский электрон в магнитном поле. Всегда  ли  изохронны малые колебания? 

Ангаромничность и генерация гармоник. Преобразование гармонических  сигналов  нелинейным  элементом со степенной характеристикой. Гармоники и комбинационные частоты. Физические примеры нелинейного преобразования спектра:  нелинейность  уха, генерация второй гармоники  в  оптике.  Проявление ангармоничности с "временной" точки зрения. 

Мультистабильность  и  гистерезис.   Объяснение   мультистабильности с помощью модели "шарик в потенциальной яме". Примеры систем, демонстрирующих   мультистабильность: механическая система, туннельный диод в схеме  с  регулируемыми  э.д.с.  и резистором,   ферромагнетик.   Гистерезис и  его объяснение  с  помощью  модели  "шарик  в  потенциальной  яме".

Нелинейные  динамические  системы.  Представление  уравнений нелинейных колебательных систем в  "стандартной"  форме  теории динамических  систем  (N  дифференциальных уравнений первого порядка). Геометрическая интерпретация  нелинейной  динамики  в фазовом  пространстве.  Примеры  динамических   систем   разной размерности.   Диссипативные   и   консервативные   системы   - классификация,  основанная   на   свойствах   эволюции   облака изображающих точек  в  фазовом  пространстве.

Консервативные нелинейные системы.  Примеры  консервативных систем  второго  порядка. Потенциальная функция и интеграл энергии. Трансформации потенциальной  энергии  при  изменении  параметров задачи на примере простейшей механической системы. 

Фазовые портреты консервативных систем. Стратегия  построения и исследования фазового  портрета  нелинейной  системы:  график потенциальной  энергии  и  его  связь  с  элементами   фазового портрета, особые точки и области  линейных  движений  в  фазовом пространстве,  сепаратрисы,  типичные  траектории   в   фазовом пространстве.

Диссипативные нелинейные  системы  и  их  фазовые  портреты. Введение  диссипации.  Системы  второго  порядка с диссипацией. Энергия системы как функция Ляпунова, ее эволюция во времени и использование для обоснования устойчивости состояний равновесия. Понятие аттрактора. Бассейны притяжения аттракторов. Роль сепаратрис в диссипативной системе  как границ раздела бассейнов притяжения. 

Уравнение математического маятника (осциллятор с нелинейностью синуса).   Математический маятник, контакт Джозефсона, задача об изгибе упругого стержня   (аналогия Кирхгофа). Интеграл энергии и фазовый  портрет. Определение периода колебаний математического маятника через  эллиптический интеграл. Зависимость периода колебаний от амплитуды. Решение уравнения  математического  маятника,  отвечающее  движению  по сепаратрисе. Исследование закона движения  вблизи  сепаратрисы. Оценка периода колебаний для движения вблизи сепаратрисы. Спектр  колебаний  при  движении  вблизи  сепаратрисы: случаи ротационных и колебательных движений. 

Осциллятор с кубической нелинейностью. Осциллятор с кубической  нелинейностью  как  универсальная модель теории колебаний. Математический маятник и другие    примеры. Потенциальная  функция и фазовый портрет. Асимптотические методы в случае колебаний с умеренными амплитудами. Секулярные члены и их  устранение. Неизохронность и   ангармоничность колебаний осциллятора с  кубической  нелинейностью:  вычисление поправки к частоте и  амплитуды  третьей  гармоники.  Сравнение приближенного и точного решений. 

Консервативный осциллятор с квадратичной нелинейностью. Осциллятор с  квадратичной  нелинейностью как  универсальная модель  теории колебаний. Физические    примеры. Потенциальная функция и фазовый портрет. Возникновение нулевой и второй гармоник в спектре. Неизохронность во втором  порядке теории возмущений.

Метод  медленно  меняющихся  амплитуд.  Применение метода медленно  меняющихся амплитуд   на примере диссипативного осциллятора с кубической нелинейностью. Определение комплексной амплитуды,  процедура   усреднения,   переход   к   укороченным уравнениям и их решение. Условия применимости  метода  медленно меняющихся амлитуд. 

Быстрые и  медленные  движения. Исследование динамики осциллятора с  кубической  нелинейностью в случае сильной диссипации  под  действием   начального   импульсного   толчка. Сведение  к  уравнению с малым параметром перед высшей производной  и  парадокс  недостаточного  количества  начальных условий,  возникающий  при  пренебрежении  этим  членом.  Более аккуратный анализ: фаза быстрого и медленного движений,  оценка их характерной длительности. Уравнения для описания быстрого  и медленного движений и их решение. Сшивание решений,  отвечающих быстрой и медленной стадиям. Быстрые и  медленные  движения  на фазовой  плоскости.

 Автоколебания. Примеры  автоколебательных  систем  различной физической природы.  Основные  черты  автоколебательных явлений. Предельный цикл как образ  автоколебаний в  фазовом  пространстве.  Предельные циклы как  аттракторы диссипативных систем. 

Уравнения Ван-дер-Поля и Релея. Радиотехнический генератор и его описание с  помощью  уравнения  Ван-дер-Поля.  Механическая система с нелинейной зависимостью силы трения от скорости и  ее описание с помощью уравнения Релея.  Связь  уравнений  Релея  и Ван-дер-Поля.   Результаты   численного    решения    уравнения Ван-дер-Поля: зависимости динамической переменной от времени  и фазовые портреты.  Затухающие,  квазигармонические  и  релаксационные колебания. 

Квазигармонические колебания и бифуркация Андрнова-Хопфа. Исследование  квазигармонических  автоколебаний в уравнении Ван-дер-Поля. Анализ методом энергетического  баланса.  Анализ методом медленно  меняющихся  амплитуд. Укороченное уравнение Ван-дер-Поля  и  его  решение.  Бифуркация  Хопфа  в  уравнении Ван-дер-Поля и ее описание с  помощью  укороченного  уравнения. Обобщенное уравнение для бифуркации Хопфа и его решения. "Прямая" (суперкритическая) и обратная (субкритическая) бифуркации  Хопфа и их бифуркационные диаграммы. 

Релаксационные автоколебания. Сведение уравнения Релея при больших значениях параметра  к  дифференциальному  уравнению с малым параметром перед старшей производной. Выделение быстрых и медленных  движений.  Представление  релаксационных  колебаний, описываемых уравнением Релея, на фазовой плоскости. Определение формы релаксационных колебаний, описываемых уравнением Релея  и оценка их периода. 

Автоколебания с жестким возбуждением. Построение модельного уравнения, описывающего автогенератор с  жестким  возбуждением. Анализ этой системы методом  энергетического  баланса. Решение модельного  уравнения  методом  медленно  меняющихся  амплитуд. Фазовый  портрет  и  его  эволюция  при  изменении   параметра. Бифуркации в системе

Метод  сечений  Пуанкаре.  Идея  метода  сечений   Пуанкаре. Нахождение  точечного  отображения  численными  методами и с помощью  метода  медленно  меняющихся   амплитуд   на   примере уравнения Ван-дер-Поля и автогенератора с жестким возбуждением. Простейшие свойства одномерных отображений: неподвижные точки и их устойчивость. Диаграммы Ламерея. 

Нелинейный  резонанс.  Вынужденные   колебания   нелинейного осциллятора  как  пример динамической системы с трехмерным фазовым  пространством.  Фазовое  пространство  на  цилиндре. Нелинейный осциллятор под периодическим внешним  воздействием и его исследование методом медленно меняющихся амплитуд. Бистабильность и гистерезис  при  нелинейном  резонансе.  Точка сборки  и  линия  складки  на  плоскости  амплитуда  -   частота воздействия.  Нелинейный  резонанс  на  гармониках  и  субгармониках. Возможность сложных колебательных режимов - хаоса. 

Синхронизация. Уравнение для медленных амплитуд для системы Ван-дер-Поля с гармоническим внешним воздействием. Приближение, отвечающее движению на невозмущенном предельном цикле. Уравнение для фазы (уравнение Адлера) и его анализ. Квазипериодические и периодические режимы. Языки Арнольда. Эволюция спектра при возникновении синхронизации. Фазовый потрет и бифуркация, ответственная за возникновения синхронизации. Полный анализ укороченного уравнения. Точки сборки и линии бифуркаций Андронова-Хопфа. Два механизма фазовой синхронизации.

главная образование только эта страница в начало