главная только эта страница

Задачи по курсу
"От порядка к хаосу"

образование
программа курса

Компьютерный практикум

1. Удвоения периода.
2. Скейлинг для систем с удвоениями периода.
3. Спектры для систем с удвоениями периода.
4. Фрактальные свойства критического аттрактора при переходе к хаосу через удвоения периода. Условие задачи.
5. Воздействие шума на системы с удвоениями периода. Условие задачи.
6. Нефейгенбаумовские удвоения и трикритические точки в двухпараметрических отображениях.
7. Перемежаемость.
8. Синхронизация и квазипериодические режимы для отображения окружности.
9. Разрушение инвариантной кривой.
10. Глобальные бифуркации в системе с квазипериодическими режимами.
11. Удвоения торов.
12. Странные нехаотические аттракторы.

(всего подготовлено 12 задач)

Задача компьютерного практикума по теме "Фрактальные свойства критического аттрактора при переходе к хаосу через удвоения периода"

а. Составьте программу, позволяющую находить неустойчивые циклы периода 2, 4, 8,...2^k для логистического отображения в критической точке и вычислите мультипликаторы этих циклов. Для нахождения циклов используйте хорошо сходящуюся рекуррентную схему , где f(x) обозначает результат 2^k -кратной итерации логистического отображения при старте из точки x.

б. Для логистического отображения получите на экране компьютера несколько первых уровней построения критического аттрактора, как кантороподобного множества.

в. Постройте график сигма-функции Фейгенбаума.

г. Вычислите размерность Хаусдорфа критического аттрактора Фейгенбаума D. Для этого составьте программу, вычисляющую сумму , где - длины интервалов, отвечающие k-ому уровню построения аттрактора, и подберите D так, чтобы значения суммы для k-ого и k+1-го уровней совпадали. Как зависит точность расчета от уровня k?

д. Составьте программу, позволяющую получить спектр обобщенных размерностей Реньи и скейлинг-спектр . Постройте графики этих зависимостей при различном выборе уровня k. Сравните результаты с расчетами по модели двухмасштабного канторова множества. Вычислите по возможности точно информационную и корреляционную размерности критического аттрактора.

Задача компьютерного практикума по теме "Воздействие шума на системы с удвоениями периода"

1. Постройте бифуркационное дерево и график ляпуновского показателя для логистического отображения под действием шума , где -случайная последовательность, генерируемая компьютером. Покажите, что шум разрушает тонкую структуру дерева тем сильнее, чем более глубокий уровень организации дерева мы рассматриваем. Как влияет шум на положение границы хаоса?

2. Продемонстрируйте скейлинг на бифуркационном дереве и графике ляпуновского показателя. Для этого действуйте аналогично задаче 16 но пересчитывайте амплитуду шума на каждом шаге преобразовании подобия в раз. (Константа найдена Кратчфильдом с соавторами).

3. Продумайте, как можно использовать свойство скейлинга для оценки константы μ для отображений с другим порядком экстремума. Сделайте такие оценки для N=4,6,8.

4. Постройте карты ляпуновских показателей для кубического отображения при различных значениях амплитуды шума. Как трансформируется граница хаоса и режимы максимальной устойчивости?

главная образование только эта страница в начало