главная только эта страница

От порядка к хаосу

Автор: д.ф.-м.н., профессор Кузнецов С.П.

8 лекций

образование
задачи и компьютерный практикум

1. Введение. Сценарии перехода к хаосу. Общая дискуссия

Проблема перехода к хаосу в динамических системах в зависимости от управляющего параметра. Исторические замечания: Ландау, Рюэль и Такенс, Фейгенбаум, Помо и Манневиль, Арнольд и др.

Задача о потери устойчивости предельного цикла и классификация сценариев. "Треугольник устойчивости". Три варианта потери устойчивости предельного цикла. Роль нелинейных членов. Общее понятие о сценариях перехода к хаосу через удвоения периода, квазипериодичность, перемежаемость I, II и III типа. Проблема многопараметрического анализа перехода к хаосу и понятие коразмерности.

2. Каскад удвоений периода - сценарий Фейгенбаума: ренормгруппа, универсальность, скейлинг

Модельная система - логистическое отображение.

Феноменология сценария перехода к хаосу через удвоения периода: бифуркационное дерево, зависимость ляпуновских показателей от параметра, эмпирическое открытие Фейгенбаумом констант скейлинга и . Критическая точка. Представление о динамике в закритической области. Порядок Шарковского.

Идея ренормгруппового анализа. Приближенный РГ анализ. Циклы в критической точке и универсальный мультипликатор.

Вывод функционального рекуррентного уравнения РГ. Неподвижная точка уравнения РГ и численный метод ее нахождения.

Линеаризация уравнения РГ вблизи критической точки. Задача на собственные функции и собственные значения. Понятие о методе решения. Спектр собственных чисел. Тривиальные решения, связанные с инфинитезимальными заменами переменной. Седловой характер неподвижной точки, ее устойчивое и неустойчивое многообразия. Объяснение скейлинга вблизи критической точки. Замечание о зависимости решения уравнения РГ и констант скейлинга от показателя степени отображения в точке экстремума.

3. Критический аттрактор Фейгенбаума

Свойства динамики в критической точке: наличие счетного множества неустойчивых циклов. Критический аттрактор и его фрактальные свойства. Сигма-функция. Модель в виде двухмасштабного канторова множества. Спектр Фурье в критической точке и соотношение между амплитудами субгармоник различного уровня. Спектр размерностей Реньи, скейлинг-спектр.

О переходе к хаосу через удвоения периода в реальных системах и моделях в виде дифференциальных уравнений.

4. Перемежаемость

Перемежаемость типа I в системе Лоренца и в логистическом отображении вблизи границы окна периодичности. Касательная бифуркация и условие реинжекции. Качественная картина: образование коридора, ламинарные и турбулентные стадии. Закон скейлинга для протяженности ламинарных стадий в зависимости от надкритичности. РГ анализ перемежаемости по аналогии с теорией Фейгенбаума. Явное решение уравнения для неподвижной точки и задачи на собственные значения.

Перемежаемость типа III. Субкритическая бифуркация удвоения периода и условие реинжекции. Качественная картина: ламинарные и турбулентные стадии. Закон скейлинга для протяженности ламинарных стадий в зависимости от надкритичности. РГ анализ перемежаемости по аналогии с теорией Фейгенбаума. Явное решение уравнения для неподвижной точки и задачи на собственные значения.

5. Квазипериодическая динамика и переход к хаосу в отображении окружности

Задача о бифуркациях двумерного тора. Отображение окружности: докритический, критический и закритический случай. Карта динамических режимов и языки Арнольда. Чертова лестница.

Число вращения и его представление в виде цепной дроби. Подходящие дроби. Золотое сечение и другие квадратичные иррациональности. Числа Фибоначчи и рациональные аппроксиманты для золотого сечения. Траектория на плоскости параметров, отвечающая золотому сечению. Критическая точка GM ("golden mean").

РГ анализ динамики в критической точке GM. Идея РГ анализа - рассмотрение динамики на интервалах времени, даваемых числами Фибоначчи. Вывод РГ уравнения и его решение. Сколько неустойчивых направлений у седловой неподвижной точки и какие из них существенны? Спектр линеаризованного оператора РГ.

Замечание о других числах вращения: структура РГ уравнений, неподвижные точки, циклы, ренормхаос. Переход к хаосу внутри языков Арнольда: удвоения периода, трикритические точки.

6. Критическая динамика и свойства скейлинга в случае числа вращения, заданного золотым средним

Критический аттрактор в точке GM. Свойства скейлинга в фазовом пространстве (итерационная  диаграмма, распределение инвариантной меры). Фурье-спектр и его представление в логарифмических координатах, делающее наглядным свойство скейлинга.

Скейлинг на критической линии для показателя Ляпунова и чертовой лестницы.

Скейлинг языков Арнольда на плоскости параметров вблизи критической точки GM. Необходимость использования криволинейных координат для наблюдения скейшинга.

Библиография

1. С.П.Кузнецов. Динамический хаос. Москва, Физматлит, 2001.
2. Г. Шустер. Детерминированный хаос. М., Мир, 1988.
3. П. Берже, И. Помо, К. Видаль. Порядок в хаосе. О детерминистическом подходе к турбулентности. М., Мир, 1991.
4. Странные аттракторы, под ред. Я. Г. Синая и Л. П. Шильникова. М., Мир, 1981.
5. Ф.Мун. Хаотические колебания. - М., Мир, 1990. - 312 с..
6. М.Фейгенбаум. Универсальность в поведении нелинейных систем. УФН, 141, 1983, № 2, с. 343.
7. М.И.Рабинович, Д.И.Трубецков. Введение в теорию колебаний и волн. М., Наука, 1984.
8. Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. Гидродинамика. М., Наука, 1986.
9. В. С. Анищенко. Сложные колебания в простых системах. М., Наука, 1990, 312 с.
10. Ю. И. Наймарк, П. С. Ланда. Стохастические и хаотические колебания. 1987.
11. М.Шредер. Фракталы, хаос, степенные законы. Москва - Ижевск, Регулярная и хаотическая динамика, 2001.
12. E.Ott. Chaos in Dynamical Systems. Cambridge Univ.Press, 1993.
13. J.M.T. Thompson and H.B.Stewart. Nonlinear dynamics and chaos. Wiley, N.Y., 1986.
14. C.Beck and F.Schlögl. Thermodynamics of chaotic systems. Cambridge Univ.Press, 1993.
15. J.-P.Eckmann, P.Collet. Iterated Maps as Dynamical Systems, Birkhäuser, Basel, 1980.
16. J. Guckenheimer and P. J. Holmes. Nonlinear oscillations, dynamical systems, and bifurcations of vector fields. Springer-Verlag, Berlin, 1983.

главная образование только эта страница в начало