главная
только эта страница Автор: д.ф.-м.н., профессор Кузнецов С.П.
18 лекций
образование
задачи и компьютерный практикум
Механика. Статистическая физика. Теория колебаний, радиофизика и электроника. Гидродинамика. Дискретные отображения. Математика. Прикладной хаос
Одномерные отображения. Отображение "зуб пилы". Символическая динамика и сдвиг Бернулли. Отображение "тент". Логистическое отображение. Замена переменных Улама-фон Неймана, развитый хаос в логистическом отображении, явная формула для хаотической эволюции динамической переменной. Итерации в обратном времени и RL последовательности.
Двумерные отображения, сохраняющие площадь. Отображение пекаря и его построение исходя из постулированной символической динамики. Наглядное представление отображения пекаря и свойство перемешивания. Отображение "кот Арнольда". Определение и наглядная интерпретация с использованием изображения кота. Бесконечное множество периодических орбит и континуум непериодических траекторий. Растягивающее и сжимающее собственное направления и свойство перемешивания.
Странные хаотические аттракторы. Обобщенное отображение пекаря. Аттрактор Плыкина. Соленоид Смейла-Вильямса. Гиперболичность.
Физические задачи, приводящие к уравнениям Лоренца. Конвекция Релея-Бенара, водяное колесо, конвекция в петле, модель одномодового лазера, осциллятор с инерционной нелинейностью.
Результаты численного моделирования динамики системы Лоренца. Пояснение хаотической природы наблюдаемой динамики с помощью приближенного одномерного отображения.
Аналитическое исследование модели Лоренца. Симметрия. Ограниченность области, где может располагаться аттрактор. Диссипативность системы Лоренца. Неподвижные точки и их исследование на устойчивость. Бифуркации в модели Лоренца
Карты динамических режимов, как способ наглядного изображения пространства параметров.
Модели с дискретным временем. Отображение Эно и его механическая модель. Отображение Икеды как модель нелинейного кольцевого резонатора, возбуждаемого лучом лазера. Типичная структура на плоскости параметров: "область перекрестка" ("сrossroad area"). Подталкиваемый периодическими импульсами автогенератор и отображение Заславского.
Искусственно сконструированные дифференциальные уравнения. Система Ресслера. Системы Спротта.
Нелинейные осцилляторы под периодическим внешним воздействием. Осциллятор Уеды и LR-контур с полупроводниковым диодом.
Автономные системы - электронные генераторы. Генератор Кияшко-Пиковского-Рабиновича. Генератор с инерционной нелинейностью Анищенко-Астахова. Кольцевой генератор Дмитриева-Кислова. Схема Чуа.
Сечение Пуанкаре для автономных систем и стробоскопическое сечение для систем с периодическим воздействием: сведение динамики трехмерных систем к двумерному отображению.
Подкова Смейла. Построение модельного отображение и объяснение Канторо-подобной структуры множества точек, выживающих в прямоугольной области при асимптотически большом числе итераций.
Теорема Шильникова: возникновение подковы Смейла и сложной динамики вблизи ситуации, когда реализуется петля сепаратрисы седлофокуса. Версия теоремы, получаемая обращением времени.
Устойчивое и неустойчивое многообразия неподвижной точки и возможность их пересечения. Гомоклиническая структура. Подкова Смейла и гомоклитическая структура. Гетероклиническая структура.
Критерий Мельникова появления гомоклинической структуры при вынужденных колебаниях нелинейного осциллятора.
Статистический подход к исследованию хаотической динамики. Ансамбль и его образ в фазовом пространстве (облако изображающих точек).
Функция распределения и инвариантная мера. Теорема Крылова-Боголюбова о существовании инвариантной меры. Негиперболические системы и квазиаттракторы.
Эргодичность и ее роль в статистической механике. Перемешивание как более сильное свойство, необходимое для объяснения релаксации замкнутой системы к термодинамическому равновесию. Связь перемешивания с затуханием корреляций и чувствительной зависимостью от начальных условий.
Одномерные отображения: инвариантные распределения и уравнение Фробениуса-Перрона. Потоковые системы: уравнение для плотности распределения и портреты странных аттракторов в серых тонах.
Устойчивость по Лагранжу.
Устойчивость по Пуассону. Блуждающие и неблуждающие точки. Предельные точки
и 
,
предельные множества 
и 
. Определение
устойчивости по Пуассону через предельные множества и через возвраты Пуанкаре.
Как соотносятся свойства возвратов Пуанкаре с характером динамического режима
(периодический, квазипериодический, хаос)?
Концепция устойчивости по Ляпунову и характеристические показатели Ляпунова. Анализ на устойчивость по линейному приближению. Геометрический смысл ляпуновских показателей и их алгебраическая интерпретация через сингулярные числа матрицы линеаризации. Ляпуновские показатели неподвижных точек и предельных циклов. Другие аттракторы и роль мультипликативной эргодической теоремы. Общие свойства спектра ляпуновских показателей для автономных потоковых систем. Классификация аттракторов по сигнатуре спектра ляпуновских показателей.
Примеры аналитического вычисления показателей Ляпунова для модельных отображений: отображение зуб пилы, отображение тент, обобщенное отображение пекаря.
Численный подход к нахождению ляпуновских показателей. Алгоритм Бенеттина. Использование ортогонализации по Граму-Шмидту при вычислении спектра ляпуновских показателей. Примеры: логистическое отображение, отображение Эно, отображение Икеды, модель Лоренца, осциллятор Ресслера.
Двухпараметрический анализ нелинейной динамики и карты ляпуновского показателя на плоскости параметров.
Фрактальная структура аттрактора в системе Ресслера, отображении Эно, отображении Смейла-Вильямса.
Фракталы: определение и простые примеры. Канторово множество, кривая Коха, ковер Серпинского. Пример появления множества Кантора как инвариантного множества в одномерном отображении. Мера и мощность множества Кантора.
Емкость и фрактальная размерность. Размерность Хаусдорфа и ее соотношение с емкостью.
Фрактальна размерность аттрактора в обобщенном отображении пекаря.
Информационная размерность и ее роль. Теорема о фрактальной размерности подмножества аттрактора.
Корреляционная размерность и алгоритм Грассбергера и Прокаччиа.
Спектр обобщенных размерностей Реньи. Определение и примеры вычисления размерностей для обобщенного отображения пекаря. Скейлинг-спектр (спектр сингулярностей).
Формула Каплана-Йорке и ляпуновская размерность.
Реконструкция фазового пространства методом запаздывания. Изображение портретов аттракторов на основе обработки наблюдаемой реализации и визуальные оценки.
Численные расчеты корреляционной размерности. Оценка необходимого объема данных в зависимости по Экманну - Рюэлю.
Теорема о вложении и ее эвристическое объяснение.
Метод оценки показателя Ляпунова по наблюдаемой реализации и оценка требуемого объема данных.
Идея реконструкции динамической системы по наблюдаемой реализации: исследовательская программа и трудности на ее пути.
главная
образование
только эта страница
в начало