Странный нехаотический аттрактор
Концепция странного нехаотического аттрактора (СНА) введена в 1984 г.
в работе Гребожи, Отта, Пеликана и Йорке (C.Grebogi, E.Ott, S.Pelikan, J.Yorke, Physica D13, 261)
и относится к специальному классу диссипативных систем -
системам с квазипериодическим внешним воздействием.
Это системы, в которых мгновенное состояние задается
набором некоторого числа переменных - обобщенных координат,
относящихся собственно к системе, и фазовых переменных, по количеству
составляющих внешнего воздействия с несоизмеримыми частотами.
Эпитет "странный" противопоставляет СНА аттрактору в виде тора,
имеющего гладкую зависимость координатных переменных от фазовых.
Эпитет "нехаотический" противопоставляет его странному хаотическому
аттрактору, который характеризуется присутствием экспоненциальной
неустойчивости траекторий. Оказалось, что в области между порядком
и хаосом СНА типичны в системах с квазипериодическим воздействием.
Можно сказать, что при переходе от простой динамики к сложной в этих
системах сначала возникает "странность", а уже потом хаос.
Эта веб-страница посвящена обзору вопросов, связанных с СНА, и подготовлена
при поддержке
гранта РФФИ 03-02-16074 и гранта РФФИ-ННИО 04-02-04011.
Оригинальные результаты
касаются ренормгруппового подхода к проблеме рождения СНА.
Здесь мы хотим подчеркнуть более фундаментальный аспект. Как известно, на раннем этапе
обсуждения проблемы возникновения турбулентности был предложен сценарий Ландау
(ДАН СССР, 44, 1944, 339),
согласно которому с увеличением числа Рейнольдса в гидродинамических течениях
в результате ряда бифуркаций последовательно возникают колебательные движения
с несоизмеримыми частотами, а при наличии достаточно большого количества
таких составляющих динамика воспринимается как турбулентная. Эта картина
была подвергнута критике Рюэлем и Такенсом (Ruelle and Takens, 1971), которые выдвинули концепцию
странного хаотического аттрактора, возникающего после рождения трех
независимых частотных составляющих. Аргументация, впрочем, носит общий
характер и с равным основанием может быть отнесена к системам самой
разной физической природы. Со времени этих пионерских работ, достигнут
большой прогресс в исследовании перехода к хаосу через квазипериодичность,
но в целом приходится заключить, что картина весьма сложна и все еще далека
от полного понимания.
Один из возможных путей продвижения – обратиться к упрощенной задаче,
предположив, что реализующиеся в какой-то сложной системе с многомерным фазовым
пространством колебания с несоизмеримыми частотами квазинезависимы и действуют
однонаправленным образом на одну дополнительную вновь возникшую составляющую движения (моду).
Это приводит к моделям с квазипериодическим воздействием, обсуждаемым в настоящем обзоре.
В них значения частот выступают как независимые параметры, задаваемые исследователем,
что создает возможность для более свободного обращения с моделью и анализа возникающих
режимов динамики. Замечательно, что уже на этом пути история делает неожиданный
поворот: наряду с регулярной (периодической и квазипериодической) динамикой и
хаосом обнаруживается возможность нового типа поведения – СНА.
В системах с квазипериодическим воздействием СНА
реализуется на множестве положительной меры в пространстве параметров,
и поэтому должен рассматриваться как типичный феномен, характерный для
области между порядком и хаосом.
В автономных системах частоты колебательных составляющих
порождаются динамикой самой системы и не допускают простого и непосредственного
регулирования. В этой ситуации возможность реализации СНА, как типичного феномена,
проблематична. Вообще говоря, в каких-то точках пространства параметров
автономной системы, совершающей движение с несколькими независимыми колебательными
составляющими, по-видимому, будут реализоваться СНА, но насколько заметную
часть пространства параметров может занимать множество этих точек, и имеет
ли оно отличную от нуля меру, сказать трудно. Отдельные появлявшиеся в литературе
сообщения относительно наблюдения СНА в автономных системах не кажутся убедительными.
Как любопытный экземпляр в "зоопарке" феноменов нелинейной динамики,
странный нехаотический аттрактор, несомненно, заслуживает, чтобы о нем
были осведомлены специалисты, имеющие дело с колебательными системами,
функционирующими в условиях внешнего воздействия со сложным спектром
(механические конструкции, радиотехнические и электронные устройства и т.п.).
С прикладной точки зрения, вызывает интерес возможность применения СНА в схемах скрытой коммуникации
(Ramaswamy, Phys. Rev. E56, 1997, 7294; Zhou and Chen, Europhys. Lett., 38, 1997, 261).