Концепция странного нехаотического аттрактора (СНА) введена в 1984 г. в работе Гребожи, Отта, Пеликана и Йорке (C.Grebogi, E.Ott, S.Pelikan, J.Yorke, Physica D13, 261) и относится к специальному классу диссипативных систем - системам с квазипериодическим внешним воздействием. Это системы, в которых мгновенное состояние задается набором некоторого числа переменных - обобщенных координат, относящихся собственно к системе, и фазовых переменных, по количеству составляющих внешнего воздействия с несоизмеримыми частотами. Эпитет "странный" противопоставляет СНА аттрактору в виде тора, имеющего гладкую зависимость координатных переменных от фазовых. Эпитет "нехаотический" противопоставляет его странному хаотическому аттрактору, который характеризуется присутствием экспоненциальной неустойчивости траекторий. Оказалось, что в области между порядком и хаосом СНА типичны в системах с квазипериодическим воздействием. Можно сказать, что при переходе от простой динамики к сложной в этих системах сначала возникает "странность", а уже потом хаос. Эта веб-страница посвящена обзору вопросов, связанных с СНА, и подготовлена при поддержке гранта РФФИ 03-02-16074 и гранта РФФИ-ННИО 04-02-04011. Оригинальные результаты касаются ренормгруппового подхода к проблеме рождения СНА.
Как любопытный экземпляр в "зоопарке" феноменов нелинейной динамики,
странный нехаотический аттрактор, несомненно, заслуживает, чтобы о нем
были осведомлены специалисты, имеющие дело с колебательными системами,
функционирующими в условиях внешнего воздействия со сложным спектром
(механические конструкции, радиотехнические и электронные устройства и т.п.).
С прикладной точки зрения, вызывает интерес возможность применения СНА в схемах скрытой коммуникации
(Ramaswamy, Phys. Rev. E56, 1997, 7294; Zhou and Chen, Europhys. Lett., 38, 1997, 261).
Здесь мы хотим подчеркнуть более фундаментальный аспект. Как известно, на раннем этапе обсуждения проблемы возникновения турбулентности был предложен сценарий Ландау (ДАН СССР, 44, 1944, 339), согласно которому с увеличением числа Рейнольдса в гидродинамических течениях в результате ряда бифуркаций последовательно возникают колебательные движения с несоизмеримыми частотами, а при наличии достаточно большого количества таких составляющих динамика воспринимается как турбулентная. Эта картина была подвергнута критике Рюэлем и Такенсом (Ruelle and Takens, 1971), которые выдвинули концепцию странного хаотического аттрактора, возникающего после рождения трех независимых частотных составляющих. Аргументация, впрочем, носит общий характер и с равным основанием может быть отнесена к системам самой разной физической природы. Со времени этих пионерских работ, достигнут большой прогресс в исследовании перехода к хаосу через квазипериодичность, но в целом приходится заключить, что картина весьма сложна и все еще далека от полного понимания. Один из возможных путей продвижения – обратиться к упрощенной задаче, предположив, что реализующиеся в какой-то сложной системе с многомерным фазовым пространством колебания с несоизмеримыми частотами квазинезависимы и действуют однонаправленным образом на одну дополнительную вновь возникшую составляющую движения (моду). Это приводит к моделям с квазипериодическим воздействием, обсуждаемым в настоящем обзоре. В них значения частот выступают как независимые параметры, задаваемые исследователем, что создает возможность для более свободного обращения с моделью и анализа возникающих режимов динамики. Замечательно, что уже на этом пути история делает неожиданный поворот: наряду с регулярной (периодической и квазипериодической) динамикой и хаосом обнаруживается возможность нового типа поведения – СНА.
В системах с квазипериодическим воздействием СНА реализуется на множестве положительной меры в пространстве параметров, и поэтому должен рассматриваться как типичный феномен, характерный для области между порядком и хаосом. В автономных системах частоты колебательных составляющих порождаются динамикой самой системы и не допускают простого и непосредственного регулирования. В этой ситуации возможность реализации СНА, как типичного феномена, проблематична. Вообще говоря, в каких-то точках пространства параметров автономной системы, совершающей движение с несколькими независимыми колебательными составляющими, по-видимому, будут реализоваться СНА, но насколько заметную часть пространства параметров может занимать множество этих точек, и имеет ли оно отличную от нуля меру, сказать трудно. Отдельные появлявшиеся в литературе сообщения относительно наблюдения СНА в автономных системах не кажутся убедительными.