теоретической нелинейной динамики
Взаимная синхронизация
четырех и более осцилляторов
Цепочка
из четырех диссипативно связанных осцилляторов Ван-дер-Поля описывается
системой уравнений
Здесь
– параметр возбуждения
автономных осцилляторов, 
, 
и 
– частотные расстройки второго, третьего и четвертого
осцилляторов относительно первого, 
– коэффициент
диссипативной связи. Частота первого осциллятора принята за единицу.
В
рамках традиционных предположений о малости параметров можно получить следующие
уравнения для относительных фаз осцилляторов
Здесь
, 
, 
.
Условия полной
синхронизации
Условия
полной синхронизации в системе находим, положив 
. Тогда из (2) для синусов
каждой из относительных фаз следуют соотношения
Аналогично
случаю трех осцилляторов,
возбуждаемых внешней силой, в
системе (2) может иметь место восемь состояний равновесия, лежащих в фазовом
пространстве в вершинах параллелепипеда. При вариации параметров состояния
равновесия могут попарно сливаются и одновременно исчезать, что приводит к
разрушению полной синхронизации. Условия
соответствующих седл-узловых бифуркаций имеют вид
Соотношения
(4) определяют три языка синхронизации на плоскости параметров 
.
Основания
языков на оси частотной рассстройки располагаются в точках
Соотношения
(5) отвечают определенным резонансам в системе. Система из четырех осцилляторов
допускает разбиения на состоящие из двух элементов подсистемы тремя способами: a) первый
осциллятор и второй-третий-четвертый, b) первый-второй и третий-четвертый, c)
первый-второй-третий и четвертый. Соответственно, условия (5) в терминах
исходной системы (1) эквивалентны резонансным соотношениям:
, 
, 
.
где
- собственная частота i-го осциллятора.
Конфигурации
трех языков (4) на плоскости приводят к двум основным типам, которые
показаны на рисунках (а) и (b) соответственно. То, какой тип реализуется, зависит
от соотношения двух оставшихся частотных расстроек и 
От
языков Арнольда – к картине синхронизации квазипериодичности
На
следующем рисунке показаны ляпуновская карта и карта торов на плоскости параметров . Остальные параметры выбраны
отвечающими наиболее сложной из возможных конфигураций области полной
синхронизации (b).
На
картах область полной синхронизации окружена областями двухчастотных режимов.
При этом режимы двухчастотной квазипериодичности имеют пороговый характер по
величине связи. В свою очередь, области двухчастотных режимов окружены
областями трехчастотной квазипериодичности, которые располагаются, в основном,
выше линии 
. При меньших значениях связи
доминируют четырехчастотные торы. Однако и при очень малой связи можно
видеть два языка трехчастотных торов, основания которых расположены на оси
частот. Области хаоса незначительны и локализованы на границе областей трех и
четырехчастотных режимов.
Ситуации коразмерности два и три
На
картах можно видеть три характерные точки коразмерности два, обозначенные
цифрами 1, 2 и 3, в которых сходятся по паре различных линий (4) седло-узловых
бифуркаций состояний равновесия. Увеличенные фрагменты карты торов в
окрестности точек 1 и 2 показаны на
рисунках (a) и (b).
В
случае (a) устройство аналогично точке saddle node fan SNF, имеющей место в случае трех связанных осцилляторов.
При этом числа вращения имеют вид 
, так что первый и второй осцилляторы взаимно захвачены.
Система оказывается аналогичной трем осцилляторам, при этом частично
захваченные первый и второй осцилляторы выступают в качестве единой подсистемы.
Аналогичная
ситуация имеет место и в окрестности точки
(случай (b)), только теперь захваченными оказываются второй и
третий осцилляторы, так что числа вращения имеют вид 
, а оставшиеся индексы 
повторяют правила для
случая трех осцилляторов.
Варьируя
частоту третьего осциллятора , можно добиться ситуации,
когда точки 
и сольются. В фазовом
пространстве в этом случае все восемь состояний равновесия стягиваются в одну
точку. На плоскости параметров в этом случае возникает новая ситуация
коразмерности три. Она имеет место при дополнительном условии 
, когда пересекаются все три
линии (4). Указанная бифуркация может быть интерпретирована как слияние двух точек saddle node fan. Карта торов непосредственно в точке такой бифуркации
дана на рисунке (c).
При
увеличении параметра за порог
такой бифуркации происходит перестройка
и усложнение картины, что иллюстрируют карта ляпуновских показателей и карта
торов.
Между
областями 
и 
появляется дополнительная
система языков
, отвечающая частичному
захвату третьего и четвертого осцилляторов. Таким образом, одновременно
присутствуют все три варианта кластеризации, отвечающие
захвату одной из пар осцилляторов. Кроме того, возникают языки двухчастотных
торов, не отвечающие кластерным состояниям. Их можно видеть в нижней части
рисунка с числами вращения 1:3:2, 2:4:3 и т.д. Эти языки погружены в область
хаоса. При уменьшении связи можно наблюдать, как хаос превращается в
четырехчастотные торы. Таким образом,
окрестность точки слияния двух точек saddle node fan оказывается наиболее «представительной» с точки зрения
наблюдаемых режимов.
На пути к многомерным торам
Описанный алгоритм анализа
может быть распространен и на случаи большего числа осцилляторов. Например, для
пяти осцилляторов вместо уравнений (2) будем иметь:
Для неподвижных точек
полагаем 
. Далее
следуем описанному выше алгоритму. В первом уравнении выражаем 
через 
, подставляем во второе.
Оттуда выражаем 
через и так далее, «вниз» по цепочке уравнений. В
результате получаются следующие выражения для синусов всех четырех фазовых
переменных:
Если
все уравнения (7) имеют решения, то система имеет 16 состояний равновесия,
расположенных в вершинах четырехмерного
параллелепипеда в фазовом пространстве 
Аналогично случаю трех и четырех осцилляторов,
при вариации соответствующих комбинаций параметров в (7), трехмерные грани этого параллелепипеда могут
сближаться, что будет приводить к седло-узловой бифуркации, когда все 16 точек
одновременно попарно сливаются и исчезают. Такие бифуркации ищем, как условие обращение
каждого из синусов в 
:
Вершины
языков 
, задаваемых уравнениями (8),
как и в случае меньшего числа осцилляторов, отвечают резонансам между
кластерами, на которые разбивается система: из четырех осцилляторов и одного, а
также из двух и трех осцилляторов. Это без особых проблем, получается по
правилам расчета частот захвата двух, трех и четырех осцилляторов.
На плоскости имеет место четыре языка, два из которых имеют
наименьший и одинаковый наклон, а два других – больший наклон. Картина
пересечения этих языков может иметь не более четырех «углов» – точек
коразмерности два. Ниже представлен качественный рисунок, иллюстрирующий
соответствующую конфигурацию.
Приведенные
рассуждения обобщаются на случай произвольного числа осцилляторов. Если связаны
(N+1) осциллятор, то на плоскости одной из частотных
расстроек – величина связи имеется N языков, причем при малой связи все они отвечают
неустойчивым режимам. Вершины языков отвечают N вариантам разбиения системы на кластеры из N –1, N –2 и т.д. осцилляторов. Область полной синхронизации
получается как пересечение всех
внутренних областей языков. Можно усмотреть здесь определенную аналогию
с известной интерпретацией синхронизации хаоса, как области пересечения языков
синхронизации встроенных в хаотический аттрактор неустойчивых периодических
орбит. (См. рис.10.11 из Пиковский, Розенблюм., Куртс и соответствующее
обсуждение.) Отличие состоит в том, что в случае режима синхронизации
многочастотного ансамбля число языков конечно и на единицу меньше числа
взаимодействующих осцилляторов, причем имеют место определенные правила расчета
оснований языков и наклона их границ.
Пиковский А., Розенблюм М., Куртс Ю. Синхронизация. Фундаментальное нелинейное явление.
М.: Техносфера, 2003. 494 с.
Граница
области полной синхронизации образована линиями седло-узловых бифуркаций, для
которых одновременно сливаются все 
неподвижных точек системы. Эта граница будет иметь
«углы» – точки коразмерности два, в которых сходятся линии седло-узловых
бифуркаций разных типов. При этом режим максимально «противоположный»
синхронизации реализуется в областях, которые лежат в области малых значений
связи.
Литература
1. Кузнецов А.П., Сатаев И.Р., Тюрюкина
Л.В. Синхронизация и
многочастотные колебания в цепочке фазовых осцилляторов. Нелинейная динамика,
2010, №4, с. 693-717.