В уравнениях динамических систем обычно присутствуют параметры - постоянные от задания которых может зависеть характер реализующегося в системе режима. Когда управляющих параметра два, ценное наглядное представление о поведении системы дает карта динамических режимов - диаграмма на плоскости параметров, где области различных режимов динамики показаны определенным цветом.
Простейший способ построения карты состоит в том, чтобы просканировать шаг за шагом всю интересующую область. При этом в каждой точке, отвечающей одному пикселю, проводится решение дифференциального уравнения (или итерируется отображение для систем с дискретным временем), затем анализируется характер режима, возникающего после завершения переходного процесса и выхода на аттрактор, и точка отмечается соответствующим цветом. В тех случаях, когда имеет место мультистабильность, т.е. сосуществует два и более аттракторов при одних и тех же параметрах, карту динамических режимов надо представлять как совокупность перекрывающихся листов со своей раскраской на каждом из них. На нашем сайте представлены карты динамических режимов для ряда известных нелинейных систем.
Одномерные отображения
Двумерные отображения
Нелинейные осцилляторы и автоколебательные системы с периодическим воздействием
Искусственно сконструированные автономные системы
Электронные автогенераторы
Связанные системы
Еще одной наглядной формой двухпараметрического исследования является построение карт ляпуновских показателей. Показатель Ляпунова характеризует поведение изначально близких точек в фазовом пространстве. Для систем с дискретным временем (итерируемых отображений) отрицательный показатель Ляпунова соответствует тому, что точки сближаются, имеет место устойчивость, и возникает стационарный или периодический режим. Если же показатель положителен, то изначально близкие точки расходятся, и при динамике в ограниченной области фазового пространства реализуется хаос. При построении карты каждая точка окрашивается в свой цвет, определяемый величиной показателя. На представленных примерах градациями синего цвета отмечены области отрицательного показателя («моря»), а оттенками красного и желтого – положительного («суша»). Для автономных систем с непрерывным временем периодические орбиты характеризуются присутствием нулевого показателя (отвечающего возмущению типа сдвига вдоль траектории), однако, при построении карт его целесообразно исключить и рассматривать зависимость от параметров наибольшего из ненулевых показателей. Тогда соответствие между типом режима и знаком показателя Ляпунова такое же, как и для отображений.
(Детали определения и методику численного расчета показателей Ляпунова см., например, в книге Динамический хаос.)
Саратовская группа