От решетки диссипативно связанных отображенийк непрерывной среде
Модели
Рассмотрим решетку связанных отображений, заданную уравнением
где f(x)=1–lx2, n – дискретное время, m – пространственный индекс, L – линейный оператор, осуществляющий усреднение по некоторой пространственной области, притом симметричным образом.
Можно показать, что при такой структуре оператора эволюции, когда он представляется в виде двух последовательно выполняемых преобразований – локального нелинейного и нелокального линейного, связь между ячейками оказывается чисто диссипативной. Два примера такой связи:
Диссипативная связь стремится выровнять мгновенные состояния элементов, а когда состояния пространственно близких ячеек решетки становятся близкими, это делает естественным ее описание как непрерывной среды. Время остается дискретным, так что это среда связанных отображений. Для случая “future coupling” имеем
Параметр D естественно именовать коэффициентом диффузии.
Ренормгрупповой анализ
Обозначим оператор эволюции за один шаг xn+1=G[xn]. Применим его дважды: xn+2=G[G[xn]] и выполним пересчет масштабов динамической переменной и пространственной координаты посредством оператора Sx(z)=ax(21/2z), где a=-2.5029… – константа Фейгенбаума. В силу соотношения D=eh2, перенормировка пространственной координаты на 21/2
отвечает пересчету ответственного за связь члена на фактор 2, т.е. на собственное число, ассоциирующееся с диссипативной связью. В перенормированных переменных имеем xn+2(z)=SG[G[S-1xn]], так что новый оператор эволюции есть G1[x]=SG[G[S-1x]]. Повторяя процедуру многократно, получаем последовательность операторов
причем Gk есть оператор эволюции за 2k временных шагов. Оказывается, что в точке накопления удвоений периода индивидуального отображения l=lс последовательность операторов Gk сходится к неподвижной точке – универсальному оператору, который удовлетворяет операторному уравнению
Если же отойти по параметру l
от критического значения, то возмущение неподвижной точки операторного уравнения будет нарастать как
dk:
Gk[x]@G[x]+c
dkH[x],
где 
Отсюда вытекают следующие свойства универсальности и скейлинга.
Универсальность. Для среды, построенной из дисспативно связанных симметричным образом отображений, демонстрирующих удвоения периода по Фейгенбауму, оператор эволюции за число шагов 2k с точностью до масштабной замены определяется в асимптотике по k одним-единственным параметром Сµl–lс. Скейлинг. Имея некоторый режим пространственно-временной динамики при близком к критической точке значении параметра l , мы должны наблюдать подобную же динамику и при l new=l c+(l –l с)/d. При этом динамическая переменная перенормируется на фактор a, характерный временной масштаб возрастает в 2 раза, а пространственный в 21/2 раза.
Компьютерные иллюстрации свойства скейлинга
Первая серия рисунков, относится к решетке связанных отображений со связью “future coupling”
и на них представлены зависимости динамической переменной от пространственной координаты в разные моменты времени. Первая картинка отвечает l=1.2, так что временной период равен 2. При этом начальные условия заданы так, что образовалась “доменная стенка” – область, разделяющая два участка среды, где элементы совершают колебания в противофазе. Ширина этой стенки определяется заданным коэффициентом диффузии, D=8. Справа отдельно показан фрагмент картинки, собственно доменная стенка. Второй рисунок получен при значении параметра, пересчитанном по правилу lnew=lc+(l –l с)/d , и с тем же коэффициентом диффузии. При этом реализуется уже режим с временным периодом 4. Фрагмент картинки справа соответствует изменению масштаба по вертикали на фактор a, а по горизонтали на фактор 2-1/2 по сравнению с предыдущим рисунком. Третий рисунок отвечает еще одному шагу пересчета масштабов. Свойство скейлинга проявляется в том, что конфигурации на диаграммах справа визуально неотличимы.
Вторая серия рисунков, относится к закритической области, когда пространственно-временная динамика хаотическая. Первая картинка соответствует l=1.5437, вторая и третья – значениям параметра, пересчитанным по указанному выше правилу. Коэффициент диффузии D=1. В силу присущей хаотическому режиму неустойчивости по отношению к малому возмущению начальных условий, трудно ожидать точного совпадения картинок при масштабном пересчете, тем не менее, можно усмотреть подобие в более общем, статистическом смысле. Очевидно соответствие общего характера зависимостей, в частности, масштабов вариации переменной по амплитуде и координате.
Для количественного подтверждения скейлинга можно сопоставить статистические характеристики (спектры, корреляционные функции) подобных друг другу режимов. В качестве примера приводятся пространственные спектры, в двойном логарифмическом масштабе. Кривые 1-3 соответствуют режимам с предыдущего рисунка, а 4 и 5 – следующим уровням скейлинга. Свойство скейлинга выражается в том, что кривые совмещаются друг с другом при сдвиге на некоторое расстояние по горизонтальной оси (пересчет масштаба пространственной координаты) и по вертикальной (перенормировка амплитуды).
Универсальный паттерн у края системы и скейлинг, связанный с конечными размерами среды
Рассмотрим решетку достаточно большой длины с фиксированным граничным условием на левом конце xn(0)=0 при критическом значении параметра lc=1.401155189…:
На верхней диаграмме можно видеть структуру, формирующуюся у края системы, а на двух других – фрагменты этой структуры. Масштабы на втором и третьем графиках по горизонтальной оси отличаются на фактор 21/2, а по вертикали на фактор а. Обратите внимание на замечательное соответствие “желтой” и “синей” панелей, отвечающих двум уровням скейлинга. Структура содержит иерархию "хвостов”, отвечающих разным уровням удвоений периода, причем хвосты каждого последующего уровня в 21/2 раз длиннее.
В системе конечной длины, например, с граничными условиями xn(0)=xn(m)=0, хвосты образуются у обоих краев. Если отслеживать изменение режима в зависимости от параметра, то хвосты, формирующиеся при первых удвоениях периода, будут иметь относительно небольшую длину, но она увеличивается в 21/2 раз при каждом последующем удвоении временного периода. Когда длина хвостов сравняется по порядку величины с длиной системы, конечный размер начнет существенным образом сказываться на бифуркациях удвоения, т.е. они будут сдвинуты по параметру относительно невозмущенных, отвечающих точечной системе (или безграничной среде).
Для бифуркаций удвоения в конечной системе имеет место соотношение
где D - константа, определяющая положение центра подобия системы "хвостов" и зависящая от конкретного вида граничных условий. На следующем рисунке приведена карта режимов и пространственные диаграммы, иллюстрирующие характер изменения структур при переходе к хаосу. Обратите внимание, что хаос возникает в середине отрезка среды; сначала он, очевидно, конечномерный (пространственная структура однотипна в разные моменты времени), а затем включается большее число пространственных мод (см. диаграмму слева вверху).
Саратовская группа