|
|
|
Решетки связанных отображений: решеточный скейлинг
Рассмотрим систему отображений, образующих решетку (одномерную, двумерную, трехмерную) с попарной связью между элементами. Предполагается, что система обладает свойством трансляционной инвариантности, т.е. пространственный сдвиг ничего не меняет, все элементы и все связи одинаковы.
Одно из характерных свойств решеток связанных отображений – возможность образования доменных структур. Представим себе сначала решетку в отсутствие связи, и пусть управляющий параметр выбран таким, что у индивидуальных элементов реализуется устойчивый цикл периода 2. Выбором начальных условий мы можем реализовать множество различных состояний цепочки: в определенный момент состояние времени каждая из ячеек цепочки может находиться в одном из двух состояний. При включении связи все это множество состояний в силу их исходной устойчивость сохранится, по крайней мере, пока связь не очень велика.
|
|
|
Область решетки, в которой ячейки находятся в одинаковых (при включении связи – в близких) состояниях, называется доменом, а границы раздела – доменными стенками. Если рассмотреть состояния, отправляясь от цикла периода 4 или 8, то число возможных состояний еще более возрастает, причем домены могут иметь иерархическую структуру – домены первого уровня, внутри которых можно выделить домены второго уровня, внутри которых...
При малой связи между элементами справедливы те же закономерности универсальности и скейлинга, как в двух связанных системах. Модельное отображение конструируется введением инерционной и диссипативной связи между парами элементов. Например, для одномерной решетки оно имеет вид
а для двумерной
Свойство решеточного скейлинга состоит в том, что при выборе параметров (D l / d , C1
/ a, C2/2) реализуются такие же динамические режимы, как при (D l , C1, C2), но с удвоенным временным масштабом, причем для реализации подобного режима начальные условия для всех отображений, составляющих решетку, должны быть перенормированы на фактор a=-2.5029. Здесь d =4.6692 – константы Фейгенбаума, D l= l - l с, l с=1.4011552...Для одномерной решетки с диссипативной связью Канеко построил фазовую диаграмму на плоскости параметров, показанную на рисунке. На ней выделены области разных по характеру режимов динамики или фаз –
FRP, PS, PCI, BD, DT, FDT. Свойство решеточного скейлинга означает, что такая же структура областей должна иметь место внутри малого прямоугольника (с пересчетом масштаба в d раз по горизонтальной и в 2 раза по вертикальной оси), если начальные условия задавать с амплитудой, уменьшенной на фактор a. Это действительно имеет место, см. представленные здесь иллюстрации в виде пространственно-временных диаграмм для фаз Канеко внутри малого прямоугольника.|
|
|
|
Следующий рисунок - пространственно временные диаграммы. По горизонтали отложена пространственная координата, по вертикали вниз – время, черный и белый цвет означает, что для данной ячейки значение динамической переменной в данный момент больше или меньше, чем отвечающее неподвижной точке индивидуального отображения. |
|
|
|
Для иллюстрации доменных структур и свойства их решеточного скейлинга ниже на рисунке показаны пространственные диаграммы для одномерной решетки с диссипативной связью, где на каждом рисунке изображены состояния в несколько моментов времени. Последующие картинки показывают, чему соответствует пересчет переменных и параметров, отвечающих решеточному скейлингу. |
|
|
|
Рассмотрим, наконец, устройство пространства параметров и характерные пространственные структуры в одномерной решетки отображений с инерционной связью
На следующем рисунке в центре представлена карта режимов на плоскости параметров. Две пространственных диаграммы в верхней части рисунка и, соответственно, в нижней, отвечают режимам подобным в смысле решеточного скейлинга |
|
|
Саратовская группа
