Если искать решение операторного уравнения ренормгруппы G_k+1[x]=SG_k[G_k[S^-1x]] в виде G_k[x]=G[x]+H_k[x], где ||H||<<1, и G есть неподвижная точка операторного уравнения, то можно найти, что операторы H должны удовлетворять рекуррентному соотношению:

Отсюда следует, что для одномерной среды, построенной из ячеек с превалирующей симметричной диссипативной (диффузионной) связью, демонстрирующих удвоения периода, должны иметь место следующие свойства универсальности и скейлинга.

Универсальность. Оператор эволюции за число шагов 2^k в асимптотике по k определяется (с точностью до масштабных замен) четырьмя параметрами. Это управляющий параметр индивидуальной ячейки l и три параметра связи: антисимметричной инерционной a, антисимметричной диссипативной b, симметричной инерционной g.

Скейлинг. Имея определенный тип пространственно-временной динамики для некоторого набора параметров (l, a, b, g) мы должны наблюдать подобную динамику при l_new=l_c+(l–l_с)/d, a_new=a/n₁, b_new=b/n₂, g_new=g/n₃ при соответствующем задании начальных условий (перенормировке на фактор a). При этом характерный временной масштаб возрастает в 2 раза, а пространственный в 2^1/2 раза.

Рассмотрим модель решетки связанных отображений вида

с граничными условиями x(0)=0, x(M)=0. Здесь представлены симметричная диссипативная или диффузионная связь (оператор L), а также антисимметричная инерционная связь между ближайшими соседями (параметр a). На рисунке справа вверху приведена карта режимов на плоскости параметр связи a - управляющий параметр l. Цветные области отвечают состояниям, которые в центральной части среды близки к пространственно-однородным. Цвет кодирует временной период (показан цифрами 1, 2, 4, 8). Серая область соответствует возникновению неоднородных состояний - структур типа бегущих регулярных или хаотических волн. Обратите внимание на свойство самоподобия карты режимов: вблизи критической точки a=0, l=l_с структура повторяет себя многократно, причем факторы скейлинга по вертикальной и горизонтальной осям d=4.6692 и n₂=1.7698.

Рассмотрим теперь решетку связанных отображений, в которой оператор эволюции факторизуется, как в случае диффузионной связи, но не является симметричным

с граничными условиями x(0)=x*, x(m)=x*, где x* - значение динамической переменной, отвечающее неподвижной точке индивидуального отображения Представленная здесь помимо чистой диффузии антисимметричная диссипативная связь характеризуется параметром b. На рисунке слева вверху приведена карта режимов на плоскости параметр связи b– управляющий параметр l Цветные области отвечают состояниям, которые в центральной части среды близки к пространственно-однородным. Цвет кодирует временной период (показан цифрами 1, 2, 4, 8). Серая область соответствует возникновению неоднородных состояний - структур типа бегущих регулярных или хаотических волн. Вблизи критической точки b=0, l=l_с карта режимов характеризуется скейлингом с факторами d=4.6692 и n₂=1.4142 по вертикальной и горизонтальной оси, соответственно.

Рассмотрим решетку связанных отображений

,