В квантовой механике каждой физической величине ("наблюдаемой") сопоставляется эрмитов оператор. В представлении Гейзенберга операторы эволюционируют во времени, а вектор состояния, на который они действуют, от времени не зависит. В нашем случае операторы будут действовать в векторном пространстве размерности N и представляться матрицами NxN.

Начнем с тривиального замечания: классическое отображение кота Арнольда можно переформулировать, избежав операции взятия модуля. Для этого вместо p и x введем новые переменные: K=exp(2pip) и A=exp(2pix), тогда отображение p'=p+x,x'=p'+x=p+2x представляется в виде K'=KA, A'=AK'.

С учетом этого замечания, описание динамики в представлении Гейзенберга целесообразно формулировать в терминах операторов, отвечающих величинам K и A. Это операторы конечного сдвига по координате и импульсу, известные как операторы Вейля-Гейзенберга.

В самом деле, рассмотрим оператор K_a=exp((2pi/h)ap), где p=-(ih/2p)d/dx - оператор импульса, a - произвольное вещественное число. Если представить этот оператор в виде тейлоровского разложения, то очевидно его совпадение с оператором конечного сдвига на a:

K_ay(x)= exp((2pi/h)ap)y(x) +ay'(x) +(1/2)a²y''(x) +(1/6)a³y'''(x)+... = y(x+a).

В импульсном представлении действие оператора K_a отвечает просто умножению на экспоненту: K_a(p)=exp((2pi/h)ap)j(p).

Оператор сдвига по импульсу на b в координатном представлении определяется как умножение на экспоненту A_b(x)=exp((2pi/h)bx)y(x). В импульсном представлении это оператор A_b(p)=exp((2pi/h)bx)j(p) где x=(ih/2p)d/dp.

Результат действия операторов K_a и A_b на функцию y(x) зависит от их порядка:

K_aA_by =exp((2pi/h)(bx+ba))y(x+a),
A_bK_ay =exp((2pi/h)bx)y(x+a).

Это можно записать в виде перестановочного соотношения K_aA_b = exp((2pi/h)ba)A_bK_a, которое для операторов конечного сдвига заменяет известное правило коммутации px-xp=-ih/2p.

Как уже говорилось, волновая функция, обладающая единичным периодом по координате и по импульсу имеет вид гребенки дельта-функций с шагом 1/N - и в координатном, и в импульсном представлении. Определим операторы сдвига на один шаг по координате и импульсу, взяв в качестве константы сдвига 1/N и полагая h=1/N:

При этом соотношение коммутации принимает вид

KA =aAK, a=exp(2p i/N).

Теперь у нас есть все необходимое, чтобы построить квантовый аналог отображения кота Арнольда в терминах операторов K и A. Мы просто заменяем величины K и A на соответствующие операторы и получаем операторное отображение

K'=KA, A'=AK'

или, что то же самое,

K'=KA, A'=AKA.

Таким образом, операторы K' и A', отвечающие очередному шагу дискретного времени, выражены через операторы, определенные на предыдущем шаге. Чтобы их по-прежнему можно было трактовать как операторы сдвига по координате и импульсу, для них должно быть справедливо то же самое коммутационное соотношение. Как нетрудно проверить, это действительно так:

K'A'=(KA)(AKA)=a(AKA)(KA)=aA'K'.

Поскольку для нашей системы вектор состояния представляется набором N коэффициентов y_m, операторы K и A должны задаваться матрицами NxN. Естественно определить их следующим образом:

(Ky)_m=y_m+1, (Ay)_m=a^my_m,

что соответствует матрицам с элементами

K_mn=d_m+1,n и A_mn=a^md_mn; m, n =0, 1, 2, ... N-1,

где d_mn=1, если m=n (mod N), иначе d_mn=0.

Как станет ясно в следующем разделе, схема квантования, исходящая из представленных соотношений, пригодна лишь для нечетных значений квантового параметра N.

(Обобщение для четных N см. здесь.)

В представлении Гейзенберга вектор состояния не зависит от времени, т.е. в нашем случае от номера итерации, а операторы, отвечающие динамическим переменным, изменяются от итерации к итерации. Задавая в качестве начальных условий для операторного отображения матрицы K⁽⁰⁾=K и A⁽⁰⁾=A, рекуррентным образом находим матрицы K^(k) и A^(k) для последующих моментов дискретного времени k. Например, для N=5,

и т.д. Каждая матрица в этой последовательности получается просто как произведение двух предыдущих.

Из приведенного примера видно, что отличны от нуля каждый раз только матричные элементы, расположенные в линию, вдоль главной диагонали, т.е. матрицы имеют вид
K^(k)_mn=d_m+s,na^nr+n, A^(k)_mn=d_m+q,na^np+m. Как легко проверить, две пары целых чисел, s и q, r и p удовлетворяют уравнениям, совпадающим по виду с классическим отображением кота Арнольда:

s'=s+q, q'=q+s', r'=r+p, p'=r+p' (mod N).

Две дополнительных переменных m и n подчиняются уравнениям, в которых s, r, p, q играют роль периодического внешнего воздействия:

n'=n+m-rq, m'=n'+m-ps' (mod N).

В силу того, что динамика теперь происходит на конечном множестве целых чисел, она оказывается не хаотической, а периодической.

С тем же периодом T(N), с которым изменяются K и А, в представлении Шредингера будет эволюционировать волновая функция (вектор состояния). Например, T(5)=10. На рисунке показана зависимость квантового периода T(N) для отображения кота Арнольда. Видно, что она носит сильно нерегулярный характер, но в среднем период увеличивается с ростом N.

Замечание I. Поскольку операторы K и A не коммутируют, наш выбор операторного отображения не является единственно возможным. В равной степени допустимыми следовало бы признать другие версии, получаемые перестановкой K и A (например, K'=AK, A'=KAA или иные). Хотя коммутационное соотношение всегда позволяет вернуться к принятому нами расположению операторов в правых частях уравнений, при этом появляются множители вида a в некоторой степени. Модификацию динамики вследствие выбора альтернативной версии операторного отображения можно представить как переопределение в каждый момент времени начала отсчета для координаты и импульса, однако величина квантового периода остается той же самой.

Замечание II касается квантования отображения на торе более общего вида. В случае, когда каждая из двух строк матрицы, задающей отображение, содержит четный элемент, имеется логически естественный выбор версии операторного отображения - использовать симметризованные комбинации K и A. Поскольку детерминант должен быть единичным, указанное условие означает, что матрица имеет форму

В первом случае операторное отображение можно задать в виде K'=K^a/2A^bK^a/2, A'=A^d/2K^cA^d/2, а во втором K'=A^a/2K^aA^b/2, A'=K^c/2A^dK^c/2. Данный класс отображений указан как квантуемый в первоначальной работе Ханнэя и Берри. Отображение кота Арнольда к нему не относится, это находит выражение в том, что при его квантовании приходится формулировать все соотношения несколько по-разному для нечетных и четных N.

Замечание III.
Операторное отображения параболического типа, описывающего свободное движение частицы, можно выбрать в виде K'=K, A'=AK.
Квантовый аналог отображения эллиптического типа - канонического преобразования, меняющего местами координату и импульс, таков: K'=A, A'=K⁺, где крестик означает операцию эрмитова сопряжения.