Сеть глобально связанных отображений
Исследование и использование принципов обработки информации, реализующихся в естественных нейросистемах (мозг человека и животных) – одно из магистральных направлений развития науки
. Один подход к построению моделей нейроподобных систем подразумевает по возможности точное воспроизведение деталей, выявленных при изучении биологических систем. Второй заимствует из биологии только самые общие моменты – существование большого числа элементов (каждый из которых отвечает индивидуальному нейрону) и системы связей между этими элементами. Определенный интерес с этой точки зрения представляет модель, предложенная Канеко, в которой индивидуальный элемент задается логистическим отображением, способным демонстрировать сложную динамику и хаос, а связь глобальная: каждый элемент одинаковым образом связан с каждым другим. Это можно трактовать также как наличие общего среднего поля, действующего в каждый момент одинаковым образом на все элементы системы.Одно из достоинств систем с глобальной связью – простота их практической реализации. Например, в системах на основе радиотехнических осцилляторов глобальная связь без труда осуществляется, скажем, через общую цепь питания или путем помещения всех осцилляторов в общую электродинамическую систему (резонатор).
Модель с двумя типами глобальной связи
В первоначальной работе Канеко и во многих последующих исследованиях принят диссипативный тип связи, который способствует выравниванию мгновенных состояний взаимодействующих элементов. Однако из анализа в разделе о двух связанных отображениях вытекает, что логично обратиться к модели, включающей два типа связи – инерционный и диссипативный. Рассмотрим сеть глобально связанных логистических отображений, описываемую следующими уравнениями:
где f(x)=1-lx2
- нелинейная функция, соответствующая логистическому отображению, n обозначает дискретное время, индекс i перечисляет элементы сети, N - общее количество элементов, e1 и e2 - параметры связи. Два последних члена в виде сумм в уравнении не зависят от индекса i, другими словами, они одни и те же для всех элементов. Следовательно, они могут рассматриваться как два средних поля, отвечающих двум типам глобальной связи: 
Кластеризация
В работах Канеко для системы с диссипативной глобальной связью было обнаружено, что имеет место феномен кластеризации. Он состоит в том, что при соответствующих условиях динамика системы ведет к самопроизвольному распределению элементов по группам – кластерам, так что, в пределах кластера мгновенные состояния элементов в любой момент точно совпадают. Это возможно благодаря глобальному характеру связи, поскольку не различаются ни мгновенные состояния элементов, принадлежащих кластеру, ни действующее на них поле. Феномен кластеризации с очевидностью возможен и в системе с двумя типами связи, поскольку элементы, мгновенные состояния которых совпали, находятся в идентичных условиях, независимо от количества средних полей.
Естественно классифицировать возможные состояния системы по числу кластеров K и по относительным числам заполнения кластеров (отношению количества элементов в кластере к общему числу элементов) pm=nm/n. Описание динамики при наличии небольшого числа кластеров K можно упростить, поскольку суммирование в пределах каждого кластера выполняется тривиально. В результате получается система K связанных отображений.
где k=1,2,...k, Xnk относится к k-ому кластеру, и сумма pk равна единице. Простейший пример – двухкластерное состояние с относительными числами заполнения p1 и p2=1–p1, для которого уравнение принимает вид
В частности, для случая p1=p2=1/2 это система, обсуждавшаяся в разделе о двух связанных отображениях.
Фазы Канеко
Для характеристики режимов, возникающих в зависимости от параметров в системе с глобальной связью, обратимся к введенной в работе Канеко концепции фаз. Для выбранной точки в пространстве параметров (l, e1, e2) рассмотрим ансамбль идентичных независимых систем с глобальной связью со случайно выбранными начальными условиями. Выполняя достаточно большое количество итераций, оцениваем статистику количества
возникающих кластеров.Система с глобальной диссипативной связью:
|
|
Система с глобальной инерционной связью:
|
|
Представленные
здесь фазовые диаграммы, получены на основании компьютерных расчетов, фазы обозначены цветом и соответствующими буквами. Это сечения полного пространства параметров –на первом рисунке плоскостью (l, e1=0, e2=ed) – диссипативная связь, на втором - плоскостью (l, e1=ei, e2=0.088ei) – инерционная связь.Скейлинг
Поскольку систему с глобальной связью можно рассматривать как набор элементов, соединенных попарно, закономерности скейлинга должны иметь силу и для случая глобальной связи.
Предположим, что при значениях параметров l, eI, eD мы обнаруживаем некоторую фазу Канеко для ансамбля систем со случайными начальными условиями, лежащими в интервале | x|<C
. Тогда для ансамбля со случайными начальными условиями из интервала |x|<C/| a| в точке l c+(l - l c)/d, eI/a, eD/2, будет наблюдаться та же самая фаза, но с удвоенным масштабом времени движения. Здесь lc - значение параметра для точки накопления бифуркаций удвоения периода в индивидуальном элементе (логистическом отображении); a = - 2.5029 и d =4.6692 - универсальные константы Фейгенбаума.Диаграммы, приведенные на обоих рисунках справа, отображают результаты вычислений, полученные с пересчетом параметров и начальных условий по указанным правилам. Сравнивая расположенные рядом картинки, можно видеть, как работает свойство скейлинга.
Саратовская группа
