Система двух связанных отображений.
Два типа связи

Рассмотрим систему из двух элементов, каждый из которых описывается квадратичным отображением

Пусть, например, речь идет о двух биологических популяциях, численность которых изменяется из года в год согласно этим уравнениям.

Один способ ввести связь состоит в предположении, что организмы сначала размножаются (гибнут), оставаясь в своей популяции, а потом на некоторое время получают возможность мигрировать между популяциями («сначала размножаются, потом расползаются»). На следующий год цикл повторяется. Уравнение имеет вид

Этому соответствует вторая картинка. Такая связь стремится выровнять мгновенные состояния подсистем, и ее естественно назвать диссипативной.

Другой способ: организмы имеют возможность миграции, минуя цикл размножения и гибели в «своей» популяции. Уравнение имеет вид

Такая связь способствует сохранению памяти о состоянии на предыдущем шаге, и ее естественно именовать инерционной.

Наконец, могут присутствовать оба типа связи, это комбинированная связь:

То, что других типов связи вводить не нужно, и данное уравнение служит в определенном смысле универсальной моделью связанных систем, следует из ренормгруппового анализа.

Универсальная модель

Полагая f (x)=1-lx2, где l - параметр, приходим к уравнениям универсальной модели в виде

где n и g - параметры связи. Численные расчеты показывают, что соотношение между параметрами в этих уравнениях и параметрами, фигурирующими в ренормгрупповом анализe, таково:

причем C1 и C2 имеют в чистом виде смысл коэффициентов инерционной и диссипативной связи, а С есть отклонение управляющего параметра от критической точки. Величины (C, C1, C2) можно трактовать как специальные координаты в пространстве параметров, наилучшим образом приспособленные для анализа и иллюстрации свойств скейлинга.

Устройство пространства параметров, мультистабильность, свойства скейлинга

Возможность мультистабильности в системе связанных отображений, демонстрирующих удвоения периода, вытекает из следующих соображений. Пусть сначала имеем две несвязанных элемента, и пусть параметр, определяющий динамику, задан таким образом, что в каждом из них реализуется устойчивый цикл периода два. В составной системе в зависимости от начальных условий оба несвязанных элемента могут колебаться в фазе или в противофазе. Оба режима устойчивы и, следовательно, сохраняются и при включении, по крайней мере, достаточно слабой произвольной связи между элементами. В случае колебательных режимов большего периода количество возможных сосуществующих аттракторов составной системы увеличивается.

Два режима – синфазный и противофазный в системе двух отображений, совершающих колебания периода 2

Четыре режима в системе двух отображений, совершающих колебания периода 4. Режим (A) синфазный, (С) противофазный, (B) и (D) переходят друг в друга при обмене местами двух подсистем.

Учитывая присутствие мультистабильности, карты динамических режимов на плоскости параметров связанных систем естественно мыслить в виде многолистных поверхностей.

Иллюстрации скейлинга на плоскости параметров системы с диссипативной связью для “синфазного” и “противофазного” листов.

 

 

Пересчет масштаба от картинки к картинке производится на фактор d =4.6692 по вертикальной и 2 по горизонтальной оси.

Иллюстрации скейлинга на плоскости параметров системы с инерционной связью для “синфазного” и “противофазного” листов.

 

 

Области различных режимов и иллюстрация свойства вблизи критической точки для системы двух элементов с чистой инерционной связью на синфазном (а) и противофазном (б) листе плоскости параметров. Пересчет масштаба от картинки к картинке производится на фактор d =4.6692 по вертикали и a =- 2.5029 по горизонтали.

Решетки связанных отображений
Система двух связанных отображений: два типа связи
Два связанных отображения: ренормгрупповой анализ
Решетка связанных отображений: решеточный скейлинг
От решетки к непрерывной среде
Среда с разными типами связи
Сеть глобально связанных отображений
Решетки связанных отображений и динамика реальных физических систем

Саратовская группа
теоретической нелинейной
динамики
Хостинг от uCoz