Если в квадратичном отображении z_n+1=l-z_n² считать комплексными динамическую переменную и параметр, то наряду с каскадом бифуркаций удвоения периода (при изменении l вдоль действительной оси), возможны также бифуркационные каскады утроения периода и другие. Гольберг, Синай и Ханин развили РГ анализ, аналогичный теории Фейгенбаума, для последовательности бифуркаций утроения периода. Справа на рисунке показана карта на плоскости комплексного параметра квадратичного отображения, где имеет место фрактальное множество множество Мандельброта. Оно образовано точками на плоскости параметра, которым отвечает динамика итераций отображения при старте из начала координат в ограниченной области z. На диаграмме отмечены критическая точка Фейгенбаума F на действительной оси и критическая точка Гольберга – Синая – Ханина GSK, в которую можно попасть, двигаясь по маршруту проходящему через «лепестки» множества Мандельброта утраивающегося периода. В верхней полуплоскости точка GSK располагается при

l_GSK = 0.0236411685 + 0.7836606508i,

а в нижней – при сопряженном значении l. [А.И.Гольберг, Я.Г.Синай, К.М.Ханин. Универсальные свойства последовательности утроения периода. УМН, 38, №1, 1983, 159-160.]

Вблизи критической точки GSK структура "лепестков" множества Мандельброта обладает свойством масштабной инвариантности относительно пересчета g-g_GSK на комплексный фактор d=4.60022558–8.98122473i. Приведенная ниже диаграмма иллюстрирует это на карте показателя Ляпунова, где его величина кодируется цветом - тонами от темного к светлому для значений от минус бесконечности до нуля, и черным для положительных значений. Однородный серый тон отвечает убеганию траекторий на бесконечность. Для каждой последующей диаграммы переопределяется правило кодирования показателей Ляпунова цветом, так чтобы учесть уменьшение их характерного масштаба втрое.

Рассмотрим теперь стохастическое отображение

где x_n - последовательность статистически независимых комплексных случайных величин с нулевым средним и фиксированным среднеквадратичным значением s. Как видно из следующего рисунка (построенного для e=0.001), в присутствии шума масштабная инвариантность ляпуновской карты нарушается.

Ренормгрупповой (РГ) анализ задачи с шумом приводит к заключению, что существует универсальная константа, которая показывает, во сколько раз надо уменьшить амплитуду воздействующего на систему шума для того, чтобы можно было наблюдать каждый новый уровень утроения периода: g=12.2066409 [Isaeva, Kuznetsov, Osbaldestin, 2004] (Содержание РГ анализа изложено здесь.)

Предположим, что при каком-то значении комплексного параметра l близком к критической точке GSK и при достаточно малом уровне шума e наблюдается некоторый режим поведения модели. Тогда при отклонении от критической точки по параметру (l-l_GSK)/d, где d=4.60022558–8.98122473i - комплексный фактор скейлинга в пространстве параметров, и при уровне шума e/g будет реализоваться статистически подобный режим поведения с характерным временным масштабом втрое большим. При этом закон распределения переменной x вблизи точки экстремума будет подобен исходному, с пересчетом комплексной координаты z на фактор a=–2.09691989+2.35827964i.

Рассмотрим две компьютерные иллюстрации указанного свойства скейлинга.

На первом рисунке показаны карты показателя Ляпунова, аналогичные предыдущей диаграмме, но, в отличие от нее, на каждому очередному рисунку отвечает уровень шума, уменьшенный на фактор g. Видно, что подобие картинок восстанавливается.

На следующем рисунке представлены портреты "зашумленных аттракторов" комплексного квадратичного отображения при значениях параметра, отвечающих в системе без шума так называемым сверхустойчивым циклам периода 3, 9 и 27, т.е. имеющим в своей орбите точку z=0, что имеет место при

• l₃= 0.122561167+0.744861767i
• l₉= 0.031552975+0.790783175i
• l₂₇= 0.023369416+0.784679678i

и для значений амплитуды шума, подписанных на графиках. Как можно видеть, при надлежащем пересчете комплексной координаты (см. выделенные фрагменты на диаграммах), вид портрета аттрактора выглядит примерно одинаково.

• Действие шума на фейгенбаумовский тип поведения
• Действие шума при переходе к хаосу через квазипериодический режим с отношением частот "золотое среднее"
• Действие шума на критическое поведение, связанное с утроениями периода
• Влияние шума на критическое поведение модели с квазипериодическим воздействием в точке окончания линии бифуркации удвоения тора