главная наука только эта страница

Ренормгрупповой анализ перехода к хаосу через удвоения периода

азбука
метод ренормгруппы
РГ-анализ квазипериодичности с отношением частот "золотое среднее"

Рассмотрим отображение . Считаем, что функция , определяющая оператор эволюции за один временной шаг, имеет максимум в начале координат. Если рассмотреть два шага, то получаем . Введем вместо x новую переменную, отличающуюся множителем . Заменяя в левой и правой части уравнения x на , запишем результат в виде, где . Теперь примем за исходную функцию g₁(x) и произведем над ней те же действия. Получится перенормированный оператор эволюции за четыре шага: , где. Повторяя описанную процедуру многократно, приходим к уравнению

.

Если исходное отображение зависит от параметра и демонстрирует каскад удвоений периода, то в точке накопления и при надлежащем выборе константы имеем . Функция g(x) удовлетворяет уравнению Фейгенбаума-Цвитановича

,

т.е. это неподвижная точка функционального уравнения. Если максимум в начале координат квадратичный, то это соответствует фейгенбаумовскому типу критичности F, тогда как степени 4, 6, 8 отвечают другим классам универсальности (T, S, E).

Будем теперь искать решение уравнения вблизи неподвижной точки в виде . При получаем

 . 

Это уравнение имеет структуру , где- линейный оператор, действующий в пространстве функций. Если имеем какую-либо собственную функцию h(x) и собственное значение , удовлетворяющее уравнению , то решение может содержать компоненту, которая при итерациях ведет себя как . Существенными будут собственные числа, превышающие по абсолютной величине 1 (и не связанные с инфинитезимальными заменами переменных). Их количество определяет коразмерность данного типа критического поведения, а сами собственные числа определяют факторы скейлинга в пространстве параметров, в некоторой системе координат (скейлинговые координаты).

Обобщение рассмотренного анализа на случай двумерных отображений , состоит в том, что на плоскости (x, y) задается подходящая система координат, и строится последовательность

Если при надлежащем выборе констант и имеет место сходимость к неподвижной точке или периодической орбите (ренорм-циклу), то это соответствует некоторому типу критического поведения (типы В, BT, H, FQ, C из нашей коллекции).

главная наука азбука только эта страница в начало