главная
наука
только эта страница
азбука
метод ренормгруппы
РГ-анализ квазипериодичности с отношением частот "золотое среднее"
Рассмотрим отображение .
Считаем, что функция
,
определяющая оператор эволюции за один временной шаг, имеет максимум в начале
координат. Если рассмотреть два шага, то получаем
.
Введем вместо x новую переменную, отличающуюся множителем
.
Заменяя в левой и правой части уравнения x на
,
запишем результат в виде
,
где
. Теперь
примем за исходную функцию g1(x) и произведем над ней
те же действия. Получится перенормированный оператор эволюции за четыре шага:
, где
.
Повторяя описанную процедуру многократно, приходим к уравнению
.
Если исходное отображение зависит от параметра и демонстрирует каскад удвоений
периода, то в точке накопления и при надлежащем выборе константы
имеем
.
Функция g(x) удовлетворяет уравнению Фейгенбаума-Цвитановича
,
т.е. это неподвижная точка функционального уравнения. Если максимум в начале координат квадратичный, то это соответствует фейгенбаумовскому типу критичности F, тогда как степени 4, 6, 8 отвечают другим классам универсальности (T, S, E).
Будем теперь искать решение уравнения вблизи неподвижной точки в виде .
При
получаем
.
Это уравнение имеет структуру ,
где
- линейный
оператор, действующий в пространстве функций. Если имеем какую-либо собственную
функцию h(x) и собственное значение
,
удовлетворяющее уравнению
,
то решение может содержать компоненту, которая при итерациях ведет себя как
. Существенными
будут собственные числа, превышающие по абсолютной величине 1 (и не связанные
с инфинитезимальными заменами переменных). Их количество определяет коразмерность
данного типа критического поведения, а сами собственные числа определяют факторы
скейлинга в пространстве параметров, в некоторой системе координат (скейлинговые
координаты).
Обобщение рассмотренного анализа на случай двумерных отображений ,
состоит
в том, что на плоскости (x, y) задается подходящая система координат,
и строится последовательность
Если при надлежащем выборе констант
и
имеет
место сходимость к неподвижной точке или периодической орбите (ренорм-циклу),
то это соответствует некоторому типу критического поведения (типы В,
BT, H, FQ,
C из нашей коллекции).
главная
наука
азбука
только
эта страница
в
начало