Пусть частица массы m свободно движется по окружности длины L_x, причем ее координата x задается длиной дуги, отсчитываемой вдоль окружности. Движение происходит в присутствии внешнего силового поля, включающегося на очень короткое время с периодом T. Распределение этого поля по x считается таким, что получаемый частицей импульс прямо пропорционален ее координате в момент толчка: p=gx. Кроме того, будем считать, что по импульсу фазовое пространство имеет период L_p, т.е. значения импульса, отличающиеся на L_p, эквивалентны.

Замечание. Последнее предположение не столь искусственное, как это может показаться. Скажем, в физике твердого тела, для квантовых возбуждений (квазичастиц) вместо обычного импульса используют квазиимпульс, по которому имеет место периодичность с периодом, обратно пропорциональным пространственному периоду кристаллической решетки.

Если непосредственно перед очередным толчком импульс и координата были p и x, то сразу после толчка координата не изменится, а импульс станет равен p'=p+gx. После этого частица движется по инерции со скоростью p'/m. Через время T приращение координаты составит Dx=p'T/m, и перед следующим толчком

p'=p+gx (mod L_p),
x'=x+p'T/m (mod L_x),

где значок mod напоминает, что координата и импульс определены с точностью до целого числа периодов L_x или L_p. Выбирая параметры так, чтобы gL_x/L_p=1 и gT/m=1, и нормируя импульс и координату, соответственно, на L_p и L_x, получаем

p'=p+x, x'=x+p' (mod 1),

или

p'=p+x, x'=p+2x (mod 1).

Построенное преобразование переменных p и x называют отображением кота Арнольда (Arnold's cat map). Название объясняется тем, что предложивший это отображение В.И.Арнольд для иллюстрации его действия использовал картинку в виде кота (см. рис.). Геометрически, первый шаг процедуры состоит в линейном преобразовании координат

а второй - в переносе элементов картинки, удалившихся за рамки единичного квадрата, обратно в него (операция взятия модуля). Благодаря периодичности по x и p, фазовое пространство отображения можно мыслить как поверхность тора. Движение частицы консервативно, т.е. мы имеем дело с гамильтоновой системой. Математически это выражается в том, что детерминант матрицы, задающей отображение кота Арнольда, равен 1, и оно сохраняет меру (площадь) любой области, например, изображения кота. По терминологии классической механики, это каноническое преобразование.

Можно рассмотреть более широкий класс отображений на торе, которые определяются матрицами с целочисленными элементами

,

подчиненными условию ab-cd=1. В зависимости от собственных чисел матрицы l₁, l₂, отображения указанного вида относятся к одному из трех типов:

гиперболический, если одно из собственных чисел больше, а второе меньше 1,

параболический, если l₁=l₂=1,

эллиптический, если l₁ и l₂ комплексно-сопряженные.

Отображение кота Арнольда принадлежит к гиперболическому типу, поскольку его собственные числа l₁=(3+5^1/2)/2 и l₂=(3-5^1/2)/2. Величины L₁=logl₁ и L₂=logl₂ представляют собой ляпуновские показатели, один из которых положителен. Это известный признак наличия неустойчивости фазовых траекторий по отношению к возмущению начальных условий и главный атрибут динамического хаоса.

Если в приведенных выше рассуждениях исключить импульсные толчки, то получится отображение параболического типа, которое описывает свободное движение частицы:

p'=p, x'=p+x (mod 1).

Каноническое преобразование, меняющее местами координату и импульс, служит примером отображения эллиптического типа:

p'=x, x'=-p (mod 1),

На рисунке показано, как эволюционирует некоторая начальная область при последовательных итерациях отображения гиперболического (а), параболического (б) и эллиптического (в) типа.

В параболическом случае образ закрашенной фигуры остается по импульсу в своем определенном начальном интервале. Для эллиптического случая эволюция сводится к повороту без изменения формы фигуры.

При итерациях гиперболического отображения изображение кота вытягивается вдоль направления первого (неустойчивого) собственного вектора на каждом шаге в l₁ раз и сжимается вдоль второго (устойчивого) собственного направления, соответственно, в l₂ раз. После достаточно большого числа итераций изображение кота превращается в чрезвычайно узкую полосу, вытянутую вдоль неустойчивого собственного направления, т.е. близкую к длинному отрезку линии, заданной уравнением p=kx, k=(5^1/2-1)/2. Из-за того, что угловой коэффициент иррационален, эта линия покрывает поверхность тора всюду плотно. Поэтому картина выглядит как набор большого числа узких чередующихся черных и белых полосок, в которые превратились, соответственно, множество точек, принадлежащих изображению кота, и дополнение этого множества. Выражаясь обыденным языком, "черная" и "белая" жидкости оказываются хорошо перемешанными. Свойство перемешивания в его точной математической формулировке строго доказывается для гиперболических отображений на торе и служит основанием для заключения о хаотической динамике этих систем. Сравнивая рисунки (а)-(в), можно видеть, что ни параболическое, ни эллиптическое отображения свойством перемешивания не обладают.