Как известно, для квантовой системы, параметры которой постоянны во времени, а динамика происходит в пространственно-ограниченной области, уравнение Шредингера приводит к дискретному спектру собственных чисел - разрешенных значений энергии. Для систем, параметры которых периодически изменяются во времени, и для систем с дискретным временем, вместо энергетического спектра говорят о спектре квазиэнергий. Пусть эволюция вектора состояния за период t дается унитарным оператором U. Поставим для него задачу на собственные векторы и собственные значения: U|y_s>=l_s|y_s>. Поскольку оператор унитарный, его собственные числа по модулю равны 1. Положим l_s=exp(2piE_s/h). Величина Е_s есть квазиэнергия собственного состояния |y_s>. Она определена с точностью до постоянной добавки h/t.

Для отображений, t - это один шаг дискретного времени. Поскольку оператор эволюции для отображения на торе представляется матрицей NxN, спектр должен содержать N собственных чисел l_s=exp(iq_s), среди которых, однако, могут быть равные (вырожденные). Величины q_s, которые и играют роль квазиэнергии состояний, называют также "собственными углами" (eigenangles). Вектор |y_s> будет также собственным вектором оператора U^k, собственное число которого (l_s)^k. Наличие квантового периода T(N) означает, что U^T(N)=1. Поэтому (l_s)^T(N)=1, и все собственные числа l_s обязаны быть комплексными корнями степени T(N) из единицы, т.е. принадлежать множеству {1, w, w²,..., w ^T(N)-1 ), где w=exp[2pi/T(N)]. Вопрос только в том, какие из этого множества корней представлены в спектре и с какой кратностью.

След матрицы Tr(U) равен, как известно, сумме всех ее собственных значений, а для матрицы U^k он дается суммой их k-ых степеней:

"Trace-последовательность" S_k имеет период T(N) и допускает представление в виде ряда Фурье:

Отсюда видно, что коэффициент при r-ом члене разложения

представляет собой кратность собственного значения w^r в спектре оператора эволюции. Таким образом, чтобы получить спектр оператора эволюции достаточно найти trace-последовательность и подвергнуть ее дискретному преобразованию Фурье. "Лобовой" способ состоит в том, чтобы вычислять степени матрицы U^k, подсчитывая S_k как сумму диагональных элементов. (Можно построить и более эффективные алгоритмы.) На рисунке внизу приводятся диаграммы, представляющие trace-последовательности квантового отображения кота Арнольда для нескольких небольших N, а также спектры квазиэнергий или "собственные углы".

На следующем рисунке показана с целью сравнения зависимость квазиэнергий от квантового параметра N для отображений гиперболического (а), параболического (б) и эллиптического (в) типа. Для рассматриваемого нами параболического отображения матрица оператора эволюции диагонализуется при переходе в импульсное представление. Поэтому собственные функции задаются собственными векторами оператора импульса, y_s(m)µexp(2pims/N) а собственные числа выражаются как

,

где s=0, ...N-1. Для эллиптического отображения, оператор эволюции которого совпадает с оператором обратного дискретного преобразования Фурье, при любом N имеется четыре собственных числа 1, i, -1, -i, кратность вырождения которых равна, соответственно, [(N+4)/4], [(N+1)/4], [(N+2)/4] и [(N-1)/4], где квадратные скобки обозначают целую часть.

В распределении уровней квазиэнергии отображений с регулярной динамикой можно различить определенные упорядоченные структуры, тогда как для отображения кота Арнольда ("хаос") их не видно.

Следующий интересный вопрос состоит в том, не проявится ли различие между отображениями с регулярной и хаотической динамикой в структуре собственных векторов оператора эволюции. Возьмем какой-нибудь пробный вектор |y₀> и, действуя на него оператором эволюции U, построим последовательность |y_k>=U^k|y₀>. Благодаря тому, что имеется место период возврата T(N), эта последовательность представляется рядом Фурье:

В качестве "коэффициентов" в этом выражении фигурируют (ненормированные) собственные векторы оператора эволюции. Вектору

отвечает собственное значение l_s=exp(2pis), а если для некоторого s число exp(2pis) в спектре не представлено, то соответствующий член суммы обращается в нуль.

На рисунке показано как выглядит распределение амплитуд по пространственной координате и распределение Хусими для нескольких собственных векторов квантового отображения кота Арнольда при N=131. Для сравнения на следующих двух рисунках показаны примеры собственных векторов для отображений с регулярной динамикой - параболического и эллиптического типа. (Следует заметить, что в последнем случае, в силу наличия вырождения высокой кратности, имеется значительный произвол в выборе вида собственных векторов.)