В представлении Гейзенберга операторы сдвига по координате и импульсу K и A эволюционируют во времени: на очередном шаге имеем K'=KA, A'=AKA. Пусть |y> некоторый вектор состояния, попытаемся отыскать такой унитарный оператор U, чтобы в пространстве преобразованных векторов |y'>=U|y> операторы K' и A' совпали с исходной своей формой, т.е. UK'U^-1=K, UA'U^-1=A. Тем самым мы переходим к представлению Шредингера: вектор состояния считается эволюционирующим во времени в соответствии с уравнением |y'>=U|y>, а операторы K и A не меняются. Из приведенного выражения вытекает UK'=KU, UA'=AU, или в матричной форме, с учетом постулированной формы операторов сдвига

U_m+1,n+1=U_mnaⁿ⁺¹, U_m,n+1=U_mna^2n-m+1.

Отправляясь от элемента матрицы U₀₀, из первого уравнения последовательно получаем диагональные элементы: U_m+1,m+1=U_mma^m+1, т.е.U_m,m=U₀₀a^m(m+1)/2. Далее, зная по одному элементу в каждой строке, с помощью второго уравнения находим элементы всей строки: U_m,n=U₀₀a^{m(m+1)/2-n(m-n)}.

Чтобы оператор U был унитарным, следует выбрать U₀₀ так, чтобы |detU|=1. Как можно показать, это обеспечено при |U₀₀|=1/N^1/2. Фазовый множитель может быть произвольным, поскольку он не влияет на наблюдаемые величины (его выбор определяет начало отсчета для квазиэнергии). Удобно, тем не менее, конкретизировать его так, чтобы след матрицы U_mn был действительным положительным числом. Итак,

причем detU=1 и TrU=1. В частности, для N=5