Известно, что классические нелинейные системы могут демонстрировать динамический хаос. С другой стороны, описание динамики на фундаментальном уровне подразумевает использование не классической, а квантовой механики. Каковы особенности квантовых систем, классические аналоги которых обладают хаотическим поведением?

Рассмотрим изолированную от остального мира квантовую систему. Ее динамика в представлении Шредингера описывается как детерминированная эволюция во времени волновой функции (вектора состояния), а в представлении Гейзенберга - как изменение во времени операторов, которые в квантовой теории занимают место классических динамических переменных. Предполагая отсутствие взаимодействия с макроскопическим окружением, мы тем самым исключаем из рассмотрения диссипацию, а также весь круг вопросов, касающихся теории измерений ("редукция волновой функции"). При этом, естественно, в поле зрения остаются только консервативные (гамильтоновы) системы.

Казалось бы, простые рассуждения приводят к выводу, что хаоса быть не может. Действительно, из-за принципа неопределенности, для квантовой системы нельзя говорить о пребывании в заданной точке фазового пространства, а лишь в ячейке, объем которой определяется постоянной Планка h. Любая ограниченная область фазового пространства содержит лишь конечное число ячеек, и динамика, состоящая в последовательном посещении этих ячеек, не может быть хаотической. Другой аргумент основывается на линейности уравнения Шредингера. Для финитного движения это уравнение приводит к дискретному спектру собственных чисел - разрешенных значений энергии или, согласно формуле E=hv, - дискретных частот. Любое мыслимое состояние представляется как линейная комбинация собственных состояний. В силу дискретности спектра, оно может эволюционировать во времени только периодически или квазипериодически.

С другой стороны, классическая динамика должна получаться из квантовой как результат определенного предельного перехода - на этом основан знаменитый принцип соответствия, сыгравший выдающуюся роль в начале развития квантовой теории.

Итак, основная проблема теории "квантового хаоса" состоит в объяснении того, как появляется хаос при переходе к классическому пределу, и можно ли выявить особенности квантовой динамики, которые ассоциировались бы с возникновением хаоса в классике?

Интересно, что нетривиальность проблемы квантования и перехода к классическому пределу для систем, не являющихся полностью интегрируемыми, была отмечена еще в 1917 г. Эйнштейном.

Как известно, для понимания классического хаоса общепризнанное значение имеет изучение специально сконструированных простых моделей, подчас не очень реалистичных, но допускающих далеко идущий теоретический анализ. К их числу относятся такие системы с дискретным временем как отображение пекаря или гиперболическое отображение тора "кот Арнольда". Можно думать, что столь же существенную роль в понимании квантового хаоса должны играть квантовые аналоги названных модельных систем. Разработка этой идеи началась с основополагающей работы Ханнэя и Берри, опубликованной в 1980 г.

Здесь представлен материал, относящийся к квантовому отображению "кот Арнольда".