English

Генераторы грубого хаоса высоких и сверхвысоких частот

Грант Российского фонда фундаментальных исследований 16-02-00135

Проект выполняется в 2016-2018 гг. в Институте радиотехники и электроники им. В.А. Котельникова Российской Академии наук (Саратовский филиал)	Руководитель проекта: Кузнецов Сергей Петрович
	Участники проекта:
	Исаева Ольга Борисовна Круглов Вячеслав Павлович Кузнецов Александр Петрович Купцов Павел Владимирович Попова Елена Сергеевна Сатаев Игорь Рустамович Седова Юлия Викторовна Станкевич Наталия Владимировна Жалнин Алексей Юрьевич Ерофеев Валерий Сергеевич

Грубый хаос, характеризуемый малой чувствительностью к вариации параметров, несовершенству изготовления устройств, помехам, что существенно для возможных информационно-коммуникационных приложений, реализуется в нелинейных системах, у которых ответственные за хаотическую динамику аттракторы относятся к категории гиперболических и псевдогиперболических. В первом случае речь идет о системах, где возмущения фазовых траекторий представляются векторами, относящимися к подпространству, растягивающему эти векторы, и подпространству где векторы претерпевают сжатие. Такие системы обладают грубостью в смысле структурной устойчивости, то есть при вариации параметров динамика в строгом математическом смысле остается той же самой с точностью до замены переменных. Случай псевдогиперболического аттрактора отвечает тому, что имеется подпространство, растягивающее фазовый объем, и подпространство, сжимающее фазовый объем, и этой ситуации отвечает более слабое свойство грубости – робастность, когда хаос не разрушается при малой вариации параметров, хотя структурной устойчивости в общем случае нет. Альтернативой робастному хаосу служит ситуация квазиаттрактора, когда при вариации параметров хаос может пропадать, трансформируясь в режимы регулярной динамики, что крайне нежелательно с точки зрения приложений. Содержание исследования состояло в проработке вариантов реализации электронных устройств с гиперболическими и псевдогиперболическими аттракторами, допускающих продвижение в диапазон высоких и сверхвысоких частот. Программа работ подразумевала апробацию методов верификации указанных типов динамического поведения, проведение схемотехнического моделирования предложенных устройств, реализацию демонстрационных лабораторных макетов, оценку перспектив применения предложенных схем в системах скрытой передачи информации, имея в виду преимущества, обусловленные присущим свойством грубости.

Основные результаты 2016 года

Рассмотрены три новых варианта построения систем, грубый хаос в которых обусловлен присутствием гиперболических аттракторов типа соленоида Смейла – Вильямса в отображении Пуанкаре. Первая система составлена из двух колебательных элементов, один из которых автоколебательный, с различающимися вдвое собственными частотами, а ее функционирование основано на использовании эффекта гибели колебаний. Вторая система автономная, и сконструирована путем модификации модели, предложенной Ю.И. Неймарком, имеющей на фазовой плоскости сепаратрису в форме восьмерки. Наша система составлена из двух подсистем Неймарка, характеризуемых обобщенными координатами x и y, и описывается уравнениями, куда добавлены члены, из-за которых система становится автоколебательной, и при этом обеспечивается утроение угла поворота вектора (x, y) при возвратах в окрестность начала координат при последовательных обходах вблизи сепаратрисы. Третий поход состоит в рассмотрении семейства автономных систем, где возникновение гиперболического хаоса ассоциируется с катастрофой голубого неба, варианты которой обсуждались (без представления конкретных примеров) в работе [Тураев Д.В., Шильников Л.П., ДАН, 342, 1995, 596—599].

Отправляясь от задачи о геодезическом потоке на поверхности отрицательной кривизны, где реализуется хаотическая динамика Аносова, разработана электронная схема генератора грубого хаоса. Проведено исследование с помощью пакета схемотехнического моделирования NI Multisim, а также путем численного решения уравнений, доставляющих разную степень точности описания динамики рассматриваемой системы. Представлены портреты аттракторов, временные зависимости генерируемых колебаний, показатели Ляпунова, спектры, и продемонстрировано хорошее соответствие наблюдаемой динамики генератора хаоса с гиперболической динамикой Аносова исходного геодезического потока. С использованием критерия, основанного на статистике углов пересечения устойчивых и неустойчивых подпространств векторов возмущения опорной фазовой траектории на аттракторе, показано, что гиперболическая природа динамики сохраняется при изменении параметров в некотором диапазоне.

В рамках работ по проекту, впервые проведена компьютерная проверка гиперболичности аттракторов для систем с запаздыванием. Использовался метод, основанный на вычислении распределений углов между многообразиями для траекторий на аттракторе – расширяющим, сжимающим и нейтральным. Рассмотрены три конкретных примера. Для двух из них подтверждена ранее предполагавшаяся гиперболичность. [С.П.Кузнецов, В.И. Пономаренко, Письма в ЖТФ, 2008, 34 (18), 1-8; S.P.Kuznetsov, A.Pikovsky, peprint nlin. arXiv: 1011.5972.] Третий пример [J.D.Farmer, Physica D, 1982, 4(3), 366-393] отвечает негиперболическому хаосу.

Развиты и апробированы методики, полезные для распознавания типов сложного динамического поведения, позволяющие отличить странный нехаотический аттрактор от квазипериодических и хаотических колебаний.

Подготовлен лабораторный стенд для работы с электронными устройствами в диапазоне высоких и сверхвысоких частот, включающий осциллографы С1-104, MSO8104A (до 1 ГГц), Agilent DSOX4034A (до 350 МГц), измеритель КСВН панорамный Р2-102 (до 2 ГГц), аналого-цифровой преобразователь NI 6355, многоканальный цифро-аналоговый преобразователь ЦАП NI PXI-6723, анализатор спектра Agilent N9320A (9кГц-3ГГц).

Разработана схема и собран лабораторный макет генератора грубого гиперболического хаоса на основе двух попеременно возбуждающихся автоколебательных элементов на полевых транзисторах, рассчитанный на диапазон частот 5-10 МГц. Разработана схема «электронного ротатора» – системы, аналогичной по виду уравнений математическому маятнику, на основе имеющихся в распоряжении компонентов для реализации лабораторного макета, и осуществлено схемотехническое моделирование в среде Multisim.

В 2016 г. участником проекта В.П. Кругловым защищена диссертация «Конечномерные и распределенные системы кольцевой структуры, генерирующие грубый хаос» на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук (научный руководитель С.П.Кузнецов, специальность 01.04.03 - радиофизика), в которой частично представлены результаты, полученные в ходе выполнения проекта.

Основные результаты 2017 года

Выполнено исследование динамики в рамках численного и схемотехнического моделирования предложенной на предыдущем этапе проекта электронной схемы, где на аттракторе системы воспроизводится динамика Аносова на поверхности отрицательной кривизны. В качестве элементов электронной схемы, являющихся аналогами ротаторов в механике, у которых состояние характеризуется определенной по модулю 2pi переменной и ее производной, использованы цепочки фазовой автоподстройки, где в качестве угловой переменной выступает фаза управляемых напряжением генераторов относительно опорного сигнала фиксированной частоты. Проведен сравнительный анализ динамического поведения моделей, доставляющих разную степень точности описания.

Разработаны схемы попеременно возбуждающихся колебательных элементов на основе полевых транзисторов (лямбда-диод) и туннельных диодов, для которых, как ожидается, можно будет подобрать параметры, обеспечивающие гиперболическую динамику.

Предложена новая простая схема генератора хаоса, реализующая псевдогиперболический аттрактор типа Лоренца, и продемонстрировано ее функционирование посредством моделирования в среде Multisim. Схема основана на эквивалентном представлении уравнений Лоренца в виде нелинейного осциллятора с помощью замены Юдовича (Кузнецов С.П., Динамический хаос, М.: 2001). В текущем варианте схема использует операционный усилитель и два аналоговых умножителя, но их, по-видимому, можно будет в дальнейшем заменить воспроизводящими их свойства элементами на транзисторах. На основе критерия углов для схемы с аттрактором Лоренца проведена проверка свойства псевдогиперболичности, которое обеспечивает робастность хаоса и состоит в том, что для векторов возмущения траекторий на аттракторе одно инвариантное подпространство сжимающее, а другое характеризуется экспоненциальным растяжением объема.

Составлена библиографическая подборка по электронным генераторам хаоса. В среде Multisim воспроизведены схемы и выполнено моделирование хаотической динамики с получением реализаций фазовых портретов и спектров для ряда описанных в литературе генераторов хаоса. Эти результаты предполагается использовать как задел для построения модифицированных вариантов схем, обеспечивающих генерацию грубого хаоса.

Рассмотрены ансамбли из трех и четырех элементов в виде осцилляторов с нелинейностью синуса, которые могут быть реализованы, в частности, на основе неидентичных контактов Джозефсона. Проведено численное моделирование динамики, выявлены области различного поведения в пространстве параметров, включая квазипериодическую динамику на торах разной размерности и хаос.

Как схемы, перспективные для реализации сложной динамики, проанализированы система в виде пяти связанных в кольцо осцилляторов ван дер Поля и пространственно-развитая сеть звездообразного типа, составленная из осцилляторов ван дер Поля. Для первой системы изучены варианты с различными типами связи: диссипативной, активной, а также диссипативной и активной с инверсией знака связи. Рассмотрены бифуркации, наблюдаемые при переходе от пятичастотного тора к четырехчастотному тору. Обнаружена возможность квазипериодической бифуркации Хопфа. Для второй системы выявлены и описаны нетривиальные сценарии возникновения и развития кластерной синхронизации при изменении параметров.

На основе метода, опирающегося на проверку трансверсальности пересечения многообразий траекторий на хаотическом аттракторе (критерий углов), подтверждена гиперболическая природа хаотической динамики нескольких предложенных ранее систем с запаздыванием, допускающих реализацию в виде электронных устройств. (Kuznetsov S.P. and Pikovsky A.S., EPL, 84, 2008, 10013; Баранов С.В., Кузнецов С.П., Пономаренко В.И., Изв. вузов - ПНД, 18, 2010, №1, 11-23; Аржанужина Д.С., Кузнецов С.П., Изв. вузов - ПНД, 22, 2014, №2, 36-49.)

Для обобщенной модели с бифуркацией, связанной с катастрофой голубого неба, на основе критерия углов подтверждена гиперболичность аттракторов, возникающих при значениях индекса, отвечающего за угол перекручивания пучка траекторий при возврате в сечение Пуанкаре, больших или равных 2.

Рассмотрены динамические характеристики сигнала, производимого СВЧ генераторами хаоса в виде гироклистрона и гиро–ЛБВ на основе винтового гофрированного волновода с запаздывающей обратной связью и гиротрона. Показано, что в режиме большой надкритичности возможна генерация в миллиметровом диапазоне длин волн хаотических колебаний, относящихся к категории гиперхаоса, т.е. характеризуемых наличием двух и более положительных показателей Ляпунова, причем спектр имеет относительную ширину до 10%.

Разработана модель многоконтурного генератора с общей схемой управления. Численным моделированием и лабораторными экспериментами продемонстрирована возможность формирования хаоса и гиперхаоса в результате разрушения многочастотной квазипериодической динамики.

Рассмотрены схемы коммуникации, основанные на использовании генераторов грубого (гиперболического) хаоса, продемонстрировано их функционирование в рамках численного моделирования]. Также в этих схемах предложен новый, энергетически эффективный и помехоустойчивый способ нелинейного подмешивания информации на основе фазовой модуляции несущего хаотического сигнала. Работоспособность схем демонстрируется на примерах трех базовых систем, генерирующих грубый хаос. Для всех этих систем указаны способы, как добиться полной хаотической синхронизации передатчика и приемника, и рассчитаны характеристики синхронных хаотических режимов, существенные для передачи информации (полные спектры показателей Ляпунова, коэффициенты диффузии фазы). Проведено численное моделирование передачи информационного сигнала, представляющего сложный квазипериодический сигнал с широким спектром.

Проведено экспериментальное исследование неавтономной системы, где в низкочастотном диапазоне наблюдался гиперболический хаос, а также квазипериодические колебания, отвечающие двумерному тору в фазовом пространстве, и переход от квазипериодической динамики к гиперболическому хаосу.

Сконструирован и реализован в виде лабораторного макета генератор гиперболического хаоса в диапазоне высоких частот. Схема содержит два генератора на двухзатворных полевых транзисторах с частотами 6 МГц и 12 МГц. Первый генератор оказывал воздействие на второй, а сигнал второго генератора смешивался с сигналом опорного генератора с последующим воздействием на первый. Управление возбуждением генераторов осуществлялось сигналом делителя частоты, на вход которого подавался сигнал опорного генератора и инвертирующими усилителями, которые обеспечивали возбуждение и гашение автоколебаний генераторов попеременно. Взаимодействие генераторов осуществлялось с помощью операционных усилителей, с выхода которых сигналы через регуляторы, резисторы и диоды поступали в цепи истоков соответствующих транзисторов. Для увеличения уровня комбинационных гармоник и обеспечения условия передачи фазы автоколебаний от одного генератора другому и обратно в схеме используются полупроводниковые диоды.

Основные результаты 2018 года

Предложена схема электронного генератора, с запаздывающей обратной связью, в которой в бесконечномерном фазовом пространстве имеет место аттрактор, реализующий псевдогиперболический хаос и аналогичный по свойствам аттрактору Лоренца. Проведено схемотехническое моделирование в среде Multisim с демонстрацией портрета аттрактора в двумерной проекции из бесконечномерного пространства состояний на фазовую плоскость. Тот факт, что аттрактор имеет природу, подобную аттрактору Лоренца, подтвержден построением графика отображения для последовательных максимумов одной из переменных по результатам обработки временного ряда, записанного в процессе схемотехнического моделирования. Свойство псевдогиперболичности было также проверено и подтверждено для математической модели устройства с помощью критерия углов. Спектры сигналов, генерируемых системой и полученные с помощью виртуального анализатора спектра, сплошные, что отражает хаотическую природу динамики, причем изрезанность спектральной плотности мощности невелика, что является достоинством данного варианта электронного генератора хаоса.

Предложена новая схема, генерирующая гиперболический хаос, где используются попеременно активируемые автоколебательные элементы, передача возбуждения между которыми осуществляется резонансным образом, за счет разности частот малых и больших (релаксационных) колебаний в целое число раз, что сопровождающейся преобразованием фаз в соответствии с растягивающим отображением окружности. Схема реализована в среде Multisim на основе двух колебательных контуров, каждый из которых содержит нелинейный элемент в виде диода и элемент отрицательного сопротивления на операционном усилителе, где величина отрицательного сопротивления модулируется благодаря периодическому изменению проводимости сток-исток полевого транзистора за счет подачи управляющего напряжения на его затвор. Устройство демонстрирует хаотическую динамику, отвечающую гиперболическому аттрактору Смейла – Вильямса в отображении за период модуляции, и квазипериодическую динамику, в зависимости от выбора параметров. Достоинством схемы является ее простота – отсутствие необходимости использовать нелинейные элементы в цепи связи между осцилляторами.

Предложены схемотехнические решения генераторов грубого хаоса кольцевой структуры с аттракторами Смейла – Вильямса. Один из вариантов – схема, содержащая два колебательных контура, с собственными частотами, находящимися в соотношении 1:2. Схема включает нелинейный элемент на диодах и операционном усилителе, имеющий квадратичную характеристику при малых амплитудах и демонстрирующий насыщение, обусловленное предельными параметрами операционного усилителя. Второй нелинейный элемент – аналоговый умножитель, осуществляющий смешение основного сигнала и вспомогательного, представляющего собой периодическую последовательность радиоимпульсов с прямоугольной огибающей. Система генерирует последовательность радиоимпульсов, у которых фазы заполнения меняются хаотически, в соответствии с отображением Бернулли.

Показана возможность построения электронных генераторов хаоса, на аттракторе которых динамика отвечает геодезическим потокам на искривленных многообразиях размерности K=2,3,4. Систему можно мыслить, как набор из K+1 ротаторов, на которые наложена связь, заданная алгебраическим соотношением cos Ф(1)+cos Ф(2)+… +cos Ф(K+1)=0. Электронная схема строится из элементов, каждый из которых представлен цепочкой фазовой автоподстройки частоты, выступающей как аналог ротатора. В случае K=2 геодезический поток имеет место поверхности Шварца, обладающей почти всюду отрицательной кривизной, что обеспечивает динамику типа Аносова. Для случаев K=3 и 4 соответствующие геодезические потоки на трехмерном и четырехмерном искривленном многообразии, как оказалось, не могут быть отнесены к категории гиперболической динамики Аносова, поскольку секционные кривизны риманова многообразия в точках траектории принимают как отрицательные, так и положительные значения [Kuznetsov S.P., Preprint arXiv: 1810.08002]. Тем не менее, схемы на основе четырех и пяти цепочек фазовой автоподстройки также были реализованы и изучены. Продемонстрировано их функционирование как генераторов гиперхаоса, характеризуемого несколькими положительными показателями Ляпунова, с хорошими спектральными свойствами, однако требование структурной устойчивости для них не выполнено.

Рассмотрены варианты схемотехнических решений генераторов хаоса, воспроизводящих динамику на псевдогиперболическом аттракторе типа Лоренца в схеме, содержащей два операционных усилителя и два аналоговых умножителя и схема, реализующая нелинейный осциллятор с инерционной нелинейностью, где имеет место аттрактор типа Лоренца. Псеводогиперболическая природа генерируемого хаоса в этих схемах подтверждена методом построения отображения Лоренца для последовательных максимумов временной зависимости одной из переменных. Кроме того, указана схема, позволяющая реализовать четырехмерный аналог модели Лоренца, где также имеет место псевдогиперболический аттрактор. Для математической модели этой системы псевдогиперболическая природа аттрактора подтверждена с помощью критерия углов. Продемонстрированы хорошие спектральные свойства генерируемого хаоса для всех упомянутых вариантов схем – плавная зависимость спектральной плотности мощности, не имеющая выраженной изрезанности.

Для наблюдения гиперболического хаоса и анализа сценариев его возникновения в радиотехническом эксперименте был создан лабораторный макет – радиотехнический прототип генератора грубого хаоса. Схема состоит из двух подсистем, содержащих колебательные контуры с частотами 24.5 и 49 kHz, дополненные элементами с отрицательным сопротивлением на операционных усилителях. Квадратичная связь, отвечающая за передачу возбуждения от первой подсистемы ко второй, обеспечивается элементом на аналоговом умножителе. Воздействие второй подсистемы на первую обеспечивалась элементом, содержащим умножитель, через произведение сигнала на опорный синусоидальный сигнал от генератора частоты, близкой к собственной частоте первого колебательного контура. Модуляция активности в подсистемах в противофазе обеспечивалась изменением сопротивлений двух полевых транзисторов, управляемых сигналом от делителя частоты, который производил синусоидальное напряжение периода в восемь раз больше, чем период опорного сигнала. Типы динамических режимов детектировались при помощи наблюдения стробоскопического сечения с периодом модуляции на экране осциллографа, с последующим численным анализом оцифрованных временных реализаций (строились фазовые портреты, итерационные диаграммы для угловой переменной, анализировались спектры мощности, старший показатель Ляпунова). В стробоскопическом сечении наблюдался хаотический гиперболический аттрактор типа Смейла–Вильямса, фаза же колебаний вела себя в соответствии с отображением Бернулли. Многопараметрический анализ динамики лабораторного макета позволил описать сценарии перехода к гиперболичности в радиофизическом эксперименте.

Сконструирован и реализован в виде лабораторного макета генератор гиперболического хаоса в радиодиапазоне, схема которого аналогична по структуре взятому за прототип низкочастотному генератору, который описан выше, но использует высокочастотные аналоговые умножители (рабочая частота до 250 MHz) и операционные усилители (рабочая частота до 1 GHz). Собственные частоты осцилляторов, на основе которых построена схема, составляли 10 MHz и 20 MHz, а частота модуляции параметров одной и другой подсистемы 1.25 MHz. Получены диаграммы для фаз колебаний на последовательных периодах модуляции, вид которой свидетельствует о гиперболической природе хаотического аттрактора, который представляет собой соленоид Смейла-Вильямса.

Публикации по проекту

Статьи

• Kuptsov P.V., Kuznetsov S.P. Numerical test for hyperbolicity of chaotic dynamics in time-delay systems. Phys. Rev. E , 2016, 94, No 1, 010201.

• Jalnine A.Yu., Kuznetsov S.P. Strange nonchaotic self-oscillator. Europhysics Letters , 2016, 115, No 3, 30004.

• Кузнецов С. П. От динамики Аносова на поверхности отрицательной кривизны к электронному генератору грубого хаоса. Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия Физика, 2016, 16, № 3, 131–144.

• Kuznetsov S.P. From Geodesic Flow on a Surface of Negative Curvature to Electronic Generator of Robust Chaos. International Journal of Bifurcation and Chaos, 2016, 26, No 14, 1650232.

• Kuptsov P.V., Kuptsova A.V. Radial and circular synchronization clusters in extended starlike network of van der Pol oscillators. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 2017, 50, 115-127.

• Jalnine A.Yu., Kuznetsov S.P. Autonomous Strange Nonchaotic Oscillations in a System of Mechanical Rotators. Regular and Chaotic Dynamics, 2017, 22, No 3, 210–225.

• Жалнин А.Ю., Кузнецов С.П. Странные нехаотические автоколебания в системе механических ротаторов. Нелинейная динамика, 2017, 13, No 2, 257-275.

• Станкевич Н.В., Кузнецов А.П., Селезнев Е.П. Квазипериодические бифуркации четырехчастотных торов в кольце пяти связанных осцилляторов ван дер Поля с различными видами диссипативной связи. ЖТФ, 2017, 62, №6, 952-955.

• Kuptsov P.V., Kuznetsov S.P., Stankevich N.V. A Family of Models with Blue Sky Catastrophes of Different Classes. Regular and Chaotic Dynamics, 2017, 22, No 5, 551–565.

• Kuznetsov S.P. Chaos in three coupled rotators: From Anosov dynamics to hyperbolic attractors. Indian Academy of Sciences Conference Series, 2017, 1, No 1, 117-132.

• Розенталь Р.М., Гинзбург Н.С., Зотова И.В., Исаева О.Б., Рожнёв А.Г., Сергеев А.С. Режимы развитого хаоса в гиротронах и гироусилителях с запаздывающей обратной связью. Ученые записки физического факультета Московского университета, 2017, №6, 1760102.

• Isaeva O.B., Jalnine A.Yu., Kuznetsov S.P. Chaotic Communication with Robust Hyperbolic Transmitter and Receiver. Progress In Electromagnetics Research Symposium. Proceedings: St Petersburg, Russia, 22–25 May 2017, 3129-3136. Preprint.

• Doroshenko V.M., Kruglov V.P., Pozdnyakov M.V. Robust chaos in systems of circular geometry. Progress In Electromagnetics Research Symposium. Proceedings: St Petersburg, Russia, 22–25 May 2017, 3122-3128.

• Isaeva O.B., Savin D.V., Seleznev E.P., Stankevich N.V. Hyperbolic chaos and quasiperiodic dynamics in experimental nonautonomous systems of coupled oscillators. Progress In Electromagnetics Research Symposium. Proceedings: St Petersburg, Russia, 22–25 May 2017, 3109-3113.

• Kuptsov P.V., Kuznetsov S.P. Numerical test for hyperbolicity in chaotic systems with multiple time delays. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 2018, 56, 227-239.

• Kuznetsov A.P., Sataev I.R., Sedova Yu.V. Dynamics of Three and Four Non-identical Josephson Junctions. Journal of Applied Nonlinear Dynamics, 2018, 7, No 1, 105-110.

• Кузнецов С.П. Простые электронные генераторы хаоса и их схемотехническое моделирование. Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика, 2018, 26, № 3, 35–61.

• Kuptsov P.V., Kuznetsov S.P. Lyapunov analysis of strange pseudohyperbolic attractors: angles between tangent subspaces, local volume expansion and contraction //Regular and Chaotic Dynamics, 23, 2018, Nos 7-8, 908–932.

• Doroshenko V.M., Kruglov V.P., Kuznetsov S.P. Smale-Williams Solenoids in a System of Coupled Bonhoeffer-van der Pol Oscillators. Russian Journal of Nonlinear Dynamics, 2018, 14, no. 4, 435-451.

• Розенталь Р.М., Исаева О.Б., Гинзбург Н.С., Зотова И.В., Сергеев А.С., Рожнев А.Г., Тараканов В.П. Автомодуляционные и хаотические режимы генерации в двухрезонаторном гироклистроне с запаздывающей обратной связью. Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика, 2018, 26, № 3, 78–98.

• Кузнецов С.П., Купцов П.В. Аттрактор Лоренца в системе с запаздыванием: пример псевдогиперболического хаоса // Известия Саратовского университета - Новая серия. Серия Физика, 16, 2018, вып. 3, 162-176.

• Кузнецов С.П., Седова Ю.В. Гиперболический хаос в осцилляторе Бонхоффера – ван дер Поля с дополнительной запаздывающей обратной связью и периодически модулируемым параметром возбуждения // Известия высших учебных заведений. Прикладная нелинейная динамика, 2019, 27, вып.1, 77-95.

Тезисы

• Аржанухина Д.С., Кузнецов С.П. Схемотехническое моделирование систем кольцевой структуры с хаотической динамикой, отвечающей аттрактору Смейла – Вильямса. Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика. Тезисы докладов XI Всероссийской конференции молодых ученых. Саратов, изд-во «Техно-Декор», 2016, c.9-10.

• Дорошенко В.М., Кузнецов С.П. Генератор хаоса с аттрактором Смейла – Вильямса на основе эффекта гибели колебаний. Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика. Тезисы докладов XI Всероссийской конференции молодых ученых. Саратов, изд-во «Техно-Декор», 2016, c.39-40.

• Кузнецов А.П., Кузнецов С.П., Станкевич Н.В. Семейство моделей с катастрофой голубого неба. Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика. Тезисы докладов XI Всероссийской конференции молодых ученых. Саратов, изд-во «Техно-Декор», 2016, c.188-189.

• Хаджиева Л.М., Круглов В.П., Кузнецов С.П. Аттрактор Смейла – Вильямса в автономной системе с гомоклинической «восьмеркой». Тезисы докладов XI Всероссийской конференции молодых ученых. Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика. Тезисы докладов XI Всероссийской конференции молодых ученых. Саратов, изд-во «Техно-Декор», 2016, c.259-260.

• Захаров С.А., Кузнецов А.П., Станкевич Н.В. Взаимная синхронизация квазипериодических колебаний. Материалы XI Международной школы-конференции "Хаотические автоколебания и образование структур" (ХАОС-2016), 3-8 октября 2016, Саратов. Саратов: ООО "Издательский центр "Наука", c.87.

• Круглов В.П., Кузнецов С.П., Л.М. Хаджиева Соленоид Смейла - Вильямса в системе двух связанных осцилляторов с гомоклинической "восьмеркой". Материалы XI Международной школы-конференции "Хаотические автоколебания и образование структур" (ХАОС-2016), 3-8 октября 2016, Саратов. Саратов: ООО "Издательский центр "Наука", 2016, c.93-94.

• Kuptsov P.V., Kuznetsov S.P. Hyperbolic chaos in system with multiple delays: numerical test via angle criterion. The International Scientific Workshop "Recent Advances in Hamiltonian and Nonholonomic Dynamics" (Moscow, Dolgoprudny, Russia, 15-18 June 2017). Book of Abstracts. Moscow – Izhevsk: Publishing Center "Institute of Computer Sciences", 2017, p.49-50.

• Ерофеев В.С., Кузнецов С.П., Селезнев Е.П. ВЧ генератор гиперболического хаоса. Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика. Тезисы докладов XII Всероссийской конференции молодых ученых. Саратов, изд-во «Техно-Декор», 2017, c.57-58.

• Купцов П.В., Кузнецов С.П. Ляпуновский анализ гиперболического хаоса в системах с несколькими запаздываниями. Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика. Тезисы докладов XII Всероссийской конференции молодых ученых. Саратов, изд-во «Техно-Декор», 2017, c.146-147.

• Кузнецов А.П., Сатаев И.Р., Седова Ю.В. Динамика маломерных ансамблей связанных контактов Джозефсона. Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика. Тезисы докладов XII Всероссийской конференции молодых ученых. Саратов, изд-во «Техно-Декор», 2017, c.241-242.

• Кузнецов С.П. Генерация гиперболического, псевдогиперболического и квазигиперболического хаоса. Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика. Тезисы докладов XIII Всероссийской конференции молодых ученых. Саратов, изд-во «Техно-Декор», 2018, c.153-154.

• Станкевич Н.В., Кузнецов А.П., Щеголева Н.А. Связанные квазипериодические колебания: генерация хаоса. Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика. Тезисы докладов XIII Всероссийской конференции молодых ученых. Саратов, изд-во «Техно-Декор», 2018, c.300-301.

• Исаева О.Б., Розенталь Р.М., Гинзбург Н.С., Зотова И.В., Сергеев А.С., Рожнев А.Г. Динамика распределенной модели гироклистрона с запаздывающей обратной связью. Материалы XVII зимней школы-семинара по радиофизике и электронике сверхвысоких частот, 5–10 февраля 2018, Саратов. Саратов: ООО “Издательский центр “Наука”. C.27-28.

• Исаева О.Б., Савин Д.В., Селезнев Е.П. Анализ динамики генераторов грубого хаоса по временным рядам. Материалы XVII зимней школы-семинара по радиофизике и электронике сверхвысоких частот, 5–10 февраля 2018, Саратов. Саратов: ООО “Издательский центр “Наука”. C.44.