Для консервативных систем гиперболический хаос представлен динамикой Аносова, когда равномерно гиперболическое инвариантное множество занимает все компактное фазовое пространство (для отображения) или отвечает поверхности постоянной энергии (для системы с непрерывным временем).

На рисунке схематически изображен шарнирный механизм [1,2], составленный из размещенных в общей плоскости трех дисков с центрами в вершинах равностороннего треугольника. Каждый диск способен вращаться вокруг своей оси и имеет установленный на краю шарнир. К этим шарнирам P_1,2,3 прикреплены три одинаковых стержня, противоположные концы которых соединены вместе посредством еще одного подвижного шарнира P₀. Мгновенная конфигурация системы задается углами поворота дисков, но независимыми являются только две из этих переменных, в силу наложенной механической связи.

Хант и МакКэй показали [2], что при определенном подборе масс и размеров элементов движение такого механизма по инерции с сохранением кинетической энергии отвечает геодезическому потоку на многообразии всюду отрицательной кривизны, что отвечает динамике Аносова. Простейший для анализа случай имеет место, когда радиус r мал, а длины стержней R равны расстоянию от начала координат до центров дисков, принятому за единицу, и, кроме того, массивными элементами являются только диски. Условие наложенной механической связи выражается тогда в очень простом виде:

Хотя в этом случае кривизна отрицательна не везде – имеется конечное число точек, где она нулевая, но этого достаточно для обеспечения динамики Аносова.

Принимая моменты инерции дисков за единицу, можно записать уравнения движения в виде

где неопределенный множитель Лагранжа A подлежит определению с учетом алгебраического условия голономной механической связи. Дифференцируя уравнение связи по времени двукратно и подставив в полученное соотношение вторые производные из уравнений движения, находим явно множитель Лагранжа, и получаем систему уравнений в замкнутой форме

Уравнение связи и равенство, полученное в результате его дифференцирования, отвечают двум интегралам движения системы, при этом начальные условия обязательно должны задаваться так, чтобы они выполнялись.

На рисунке приводится типичный портрет траектории в конфигурационном пространстве, полученной при численном решении уравнений. Траектория непрерывна: при пересечении грани представленной на рисунке кубической ячейки она продолжается от противоположной грани куба в силу периодичности конфигурационного пространства по трем переменным. Видно, что она покрывает поверхность, топологически эквивалентную «кренделю с тремя дырками». (Она известна как поверхность Шварца.) На следующем рисунке показаны реализации – зависимости обобщенных координат и скоростей от времени для энергии W=0.1.В силу циклической природы обобщенных координат, непрерывные кривые на верхней диаграмме выглядят так, что при пересечении верхней границы кривая продолжается, стартуя от нижней границы, и наоборот. Видно, что они носят хаотический характер.

Чтобы охарактеризовать наблюдаемый хаос количественно, естественно использовать показатели Ляпунова. В нашем случае имеется четыре показателя Ляпунова, согласующихся с наложенной голономной связью, причем два из них нулевые. Поскольку полная сумма показателей также равна нулю, в численных расчетах достаточно найти один наибольший показатель, после чего остальные три определяются однозначно. Для W= 0.1, что соответствует графикам на рисунке, показатели Ляпунова, найденные численно, таковы: L₁=0.157, L_2,3=0, L₄=-0.157. Для других энергий показатели Ляпунова можно также легко определить по этим данным, поскольку они ведут себя пропорционально корню квадратному из энергии.

Фундаментальный математический факт состоит в том, что равномерно гиперболические инвариантные множества характеризуются свойством грубости, или структурной устойчивости. В связи с этим, гиперболическая природа хаотической динамики сохраняется при модификациях системы с введением диссипации и обратной связи, делающих ее автоколебательной. Это продемонстрировано численными расчетами как в варианте, когда в качестве аттрактора выступает инвариантная энергетическая поверхность, так и в моделях, где энергия для траекторий на аттракторе с течением времени флуктуирует около некоторого среднего значения [3,4]. Более того, гиперболический аттрактор продолжает существовать до известных пределов и при более глубокой модификации, когда механическая связь трех ротаторов, образующих систему, заменяется их взаимодействием через посредство потенциала, минимум которого отвечает предполагавшемуся в исходной задаче условию связи.

Страница разработана при поддержке гранта РНФ 15-12-20035, выполняемого в Удмуртском государственном университете (Ижевск).

ЛИТЕРАТУРА

[1] Тёрстон У.П., Уикс Д.Р. Математика трехмерных многообразий. В мире науки. 1984. №9. С. 74-88 (1984).

[2] Hunt T.J., MacKay R.S. Anosov parameter values for the triple linkage and a physical system with a uniformly chaotic attractor. Nonlinearity. 2003. V. 16. P. 1499-1510.

[3] Kuznetsov S.P. Hyperbolic chaos in self-oscillating systems based on mechanical triple linkage: Testing absence of tangencies of stable and unstable manifolds for phase trajectories. Regular and Chaotic Dynamics. 2015. V. 20. No 6. P. 649–666.

[4] Кузнецов С.П. Хаос в системе трех связанных ротаторов: от динамики Аносова к гиперболическому аттрактору. Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия Физика. 2015. Т. 15. Вып. 2. С. 5-17.