![]() |
Параметрический генератор гиперболического хаоса |
Для реализации гиперболического хаоса на основе манипуляции фазами колебаний при передаче возбуждения между попеременно возбуждающимися осцилляторами весьма подходящим представляется известный в теории колебаний и приложениях класс параметрических систем. Они могут быть построены на различной физической основе – в электронике, механике, акустике, нелинейной оптике.
Одна из распространенных схем параметрического генератора содержит два парциальных осциллятора, связанных посредством реактивного (бездиссипативного) элемента с изменяющимся во времени параметром. Если собственные частоты осцилляторов w1, w2 и частота изменения параметра (частота накачки) w3 удовлетворяют условию параметрического резонанса w3=w1+w2, то в парциальных осцилляторах возникает одновременная раскачка колебаний. Стабилизация амплитуды может быть достигнута, если ввести, например, нелинейную диссипацию.
Обратимся к системе, составленной из двух таких подсистем A и B [1].
Частоты выберем так, что w2=2w1 и
w3=3w1. (Условие параметрического резонанса, очевидно, выполняется.)
Принадлежащий каждой подсистеме осциллятор частоты w1
полагаем связанным через квадратичный нелинейный элемент с осциллятором частоты w2,
относящимся к подсистеме-партнеру. В силу принятого соотношения частот,
воздействие на второй гармонике одного осциллятора на другой будет эффективным – резонансным.
Будем полагать, что накачка включается по очереди в одной и другой подсистеме, так что функционирование устройства состоит в попеременном параметрическом возбуждении подсистем и затухании колебаний в промежутках времени между активными стадиями.
Модель описывается уравнениями
Здесь x1,2 и y1,2 – обобщенные координаты двух пар осцилляторов, имеющих собственные частоты w1 и w2=2 w1. Параметр k определяет интенсивность накачки на частоте w3=3w1. Параметр e отвечает за нелинейную связь между осцилляторами, относящимися к разным парам. Функции f и g задают медленную зависимость амплитуды накачки от времени, так что для двух пар осцилляторов она совершает колебания в противофазе:
Период модуляции полагаем кратным периоду основной частоты накачки, т.е. T=2pN/w3, где N - целое.
При N>>1 для описания динамики можно воспользоваться методом медленных амплитуд. Положим
где A и B – медленные комплексные функции времени. После подстановки в уравнения, умножения на экспоненту и усреднения по периоду быстрых колебаний, с учетом принятого соотношения частот w1,2,3, получаем:
Если e=0, то система распадается на две изолированные подсистемы, A и B.
Рассмотрим одну из них, например, А. (Для второй рассуждения аналогичны.) Без диссипации и при постоянной амплитуде накачки подсистема описывается в терминах комплексных амплитуд уравнениями
На больших временах решение имеет вид
где R и Ф постоянные, определяемые начальными условиями. Это соответствует
Таким образом, возникшие в результате развития параметрической неустойчивости колебания на первой и второй гармонике имеют фазовый сдвиг, задаваемый одной и той же константой Ф, которая зависит от начальных условий. При учете нелинейной диссипации амплитуда колебаний будет претерпевать насыщение, но указанное фазовое соотношение сохранится.
Перейдем к ситуации, когда имеет место попеременное действие накачки на обе подсистемы при наличии ненулевой связи между ними. Возбуждение подсистемы A или B при включении накачки будет происходить в присутствии воздействия со стороны подсистемы-партнера на парциальный осциллятор, имеющий собственную частоту w2=2w1. Оно осуществляется посредством порождаемой на нелинейном элементе второй гармоники сигнала от осциллятора, совершающего колебания на частоте w1. Эта вторая гармоника имеет удвоенную фазу, так что ее же унаследуют колебания возбуждаемого осциллятора, стимулированные этим воздействием. За полный период модуляции накачки трансформация фазы будет приближенно определяться отображением Фnew=4Фold+const (mod 2p), которое относится к семейству отображений Бернулли. Его динамика хаотическая и характеризуется показателем Ляпунова L=ln 4=1.386.
Для аккуратного описания динамики в дискретном времени мгновенное состояние системы в момент tn следует задать восьмимерным вектором Xn. Решая уравнения на интервале времени T с начальными условиями Xn, получим набор переменных, отвечающий новому состоянию Xn+1. Введем функцию, отображающую восьмимерное пространство в себя: Xn+1=T(Xn). Это отображение Пуанкаре. (В соответствии с известными результатами теории дифференциальных уравнений, оно взаимно однозначное и взаимно дифференцируемое.) Для определения фазовой переменной Ф используем осциллятор на частоте w1, относящейся к подсистеме, активной в моменты tn. За одну итерацию отображения Пуанкаре по направлению в восьмимерном пространстве, связанному с фазой Ф, реализуется 4-кратноое растяжение, а по остальным направлениям – сжатие. Отображение Пуанкаре, как мы полагаем, имеет однородно гиперболический хаотический аттрактор, относящийся к семейству соленоидов Смейла – Вильямса.
Обратимся к результатам численного моделирования динамики системы. Удобно принять w1=2p, w2=4p, w3=6p, что соответствует выбору периода собственных колебаний первого осциллятора в одной и другой подсистемах за единицу времени. Ниже на рисунке приводятся типичные образцы временных зависимостей в установившемся режиме параметрической генерации для динамических переменных x и y на протяжении одного периода модуляции накачки при T=40, e=0.5, k=35, a=0.6, b=0.01.
Красным показаны кривые, относящиеся к подсистеме A, а синим – к подсистеме B. Как можно видеть, эволюция во времени состоит в том, что обе подсистемы становятся активными попеременно, соответственно действию накачки. Каждая подсистема выдает сигнал, представляющий собой последовательность импульсов, имеющих высокочастотное заполнение и следующих с периодом модуляции накачки. Однако сигнал в целом непериодический: фаза высокочастотного заполнения меняется от импульса к импульсу хаотически. Приведены также зависимости от времени амплитуд осцилляторов, полученные численным решением амплитудных уравнений. Поскольку оба способа описания хорошо согласуются, далее ограничимся обсуждением динамики в рамках описания амплитудными уравнениями.
На рисунке справа представлена диаграмма для фаз, отвечающих последовательным стадиям возбуждения
одной из подсистем. По горизонтальной оси отложена фаза колебаний в подсистеме B,
относящаяся к моменту времени tn=nT, а по вертикали –
к моменту времени tn+1. График построен на основании численного решения
амплитудных уравнений. Фаза определяется как
Полный спектр показателей Ляпунова для аттрактора, реализующегося в отображении Пуанкаре при указанных выше значениях параметров, согласно результатам расчетов, следующий:
Заметим, что старший показатель хорошо согласуется с величиной ln 4, получаемой при приближенном описании отображением Бернулли. Остальные показатели отрицательные, что говорит о сильном сжатии по прочим направлениям в фазовом пространстве. Оценка фрактальной размерности аттрактора по формуле Каплана – Йорке дает для аттрактора в отображении Пуанкаре D=1.26. Соответственно, для аттрактора исходной системы, вложенного в девятимерное расширенное фазовое пространство, размерность составляет 2.26.
Ниже на рисунке приведен фазовый портрет аттрактора в сечении Пуанкаре в проекции на плоскость динамических переменных первого осциллятора второй подсистемы. На вставке, представляющей фрагмент исходной картинки в увеличенном виде, можно видеть некоторые детали тонкой поперечной фрактальной структуры аттрактора.
![]() |
![]() |
На рисунке справа показан график двух наибольших показателей Ляпунова
в зависимости от величины связи между подсистемами при фиксированных остальных параметрах.
Во всей рассматриваемой области один показатель положительный, а остальные отрицательные.
Зависимость от параметра для положительного показателя, отвечающего за присутствие хаоса,
гладкая, без каких-либо резких изменений («провалов»). Из рисунка видно, что в широкой
области изменения параметра связи величина большего показателя остается близкой к ln 4.
Рассмотренная схема параметрического генератора хаоса
открывает возможность получения хаотических режимов нечувствительных
к выбору параметров и деталей конструкции в системах различной природы.
Одним из возможных приложений может быть
использование таких генераторов в схемах скрытой коммуникации на основе хаоса.
Другие варианты параметрческих генераторов гиперболического хаоса рассмотрены в работах [2,3].
ЛИТЕРАТУРА
[1] C.П. Кузнецов. О возможности реализации параметрического генератора гиперболического хаоса. ЖЭТФ 133, 2008, №2, 438-446.
[2] А.С. Кузнецов, С.П. Кузнецов, И.Р. Сатаев. Параметрический генератор гиперболического хаоса на основе двух связанных осцилляторов с нелинейной диссипацией. ЖТФ, 80, 2010, вып.12, 1-9.
[3] С.П. Кузнецов. Параметрический генератор грубого хаоса: схемотехническая реализация и моделирование в программной среде Multisim. Вестник СГТУ, 2014, № 3 (76), 34-46.