Задачи о движении частицы на плоскости под действием периодических толчков, когда в отображении за период воздействия реализуется аттрактор типа Смейла – Вильямса, были предложены и исследованы численно в работах [1, 2].

Пусть имеем частицу единичной массы, совершающую движение на плоскости (x, y) в стационарном потенциальном поле

которое обладает вращательной симметрией относительно начала координат, с минимумом на единичной окружности. Примем, что периодически, с периодом T, на короткое время включается дополнительное силовое поле с потенциалом

так что получаемый частицей импульс по величине и направлению зависит от ее мгновенного положения. Уравнения движения имеют вид

где добавлена сила трения, пропорциональной мгновенной скорости. Коэффициент трения для простоты принят равным единице.

Поясним механизм функционирования системы. Вместо одной частицы, представим себе кольцо из множества невзаимодействующих частиц, в начальный момент покоящихся на единичной окружности в точках x=cos Ф и у=sin Ф. После толчка со стороны поля V частица, имевшая начальный угол Ф, получит импульс с компонентами P_x=-x+x²-y² и P_y=-y-2xy. Если временно не учитывать поле U, то легко найти, что частица остановится из-за трения в точке с координатами

Подставляя x=cos Ф и у=sin Ф, получим x'=cos Ф' и у'=sin Ф', где Ф'=2Ф. Это значит, что частицы расположатся опять по единичной окружности, но однократный обход исходного кольца отвечает теперь двукратному обходу вновь образовавшегося кольца в обратном направлении. Таким образом, для угловой координаты получаем растягивающее отображение окружности, или отображение Бернулли. Динамика ансамбля частиц иллюстрируется анимацией. Задав начальное состояние в момент непосредственно перед n-м импульсом, x_n={x, v_x, y, v_y}_t=nT-0, можно определить состояние перед следующим n+1-ым импульсом из решения уравнений на периоде T: x_n+1=f(x_n), что отвечает описывающему нашу систему четырехмерному отображению Пуанкаре. На рисунках приведены полученное при численном решении уравнений изображение типичной траектория частицы в процессе движения на плоскости (x, y) и портрет аттрактора в стробоскопическом сечении в проекции на плоскость (x, y), причем различима канторова поперечная структура соленоида. Кроме того, показана диаграмма для угловой координаты Ф_n, определенной перед каждым очередным толчком. Можно видеть, что угловая координата изменяется от шага к шагу в соответствии с растягивающим отображением окружности: один обход окружности для прообраза отвечает двум обходам для образа в обратном направлении.

Далее на рисунке показан график показателей Ляпунова в зависимости от параметра при фиксированном периоде T. Заметим, что старший показатель Ляпунова остается приблизительно постоянным и близок к величине ln 2, что соответствует отображению окружности с равномерным двукратным растяжением, приближенно описывающему динамику угловой переменной. Остальные показатели отрицательные.

Страница разработана при поддержке гранта РНФ 15-12-20035, выполняемого в Удмуртском государственном университете (Ижевск).

ЛИТЕРАТУРА

[1] С.П. Кузнецов, Л.В. Тюрюкина. Аттракторы типа Смейла – Вильямса в модельных системах с импульсным периодическим воздействием. Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика, 18, 2010, №5, 80-92.

[2] S.P. Kuznetsov. Some Mechanical Systems Manifesting Robust Chaos. Nonlinear Dynamics and Mobile Robotics, 1, 2013, No 1, 3–22