В теории динамических систем вводится в рассмотрение класс однородно гиперболических аттракторов. Это аттракторы, составленные исключительно из траекторий седлового типа, причем их устойчивые и неустойчивые многообразия не имеют касаний, а пересекаться могут только трансверсально. Эти аттракторы обладают сильными хаотическими свойствами и допускают подробный математический анализ. Одно из их важнейших свойств – грубость или структурная устойчивость. В учебниках и монографиях по нелинейной динамике примеры гиперболических аттракторов представлены абстрактными конструкциями, такими как аттракторы Плыкина и Смейла – Вильямса. Простейший аттрактор типа Плыкина строится на плоскости при отображении области с дырками в себя, как показано на рисунке.

Хотя основные положения теории сформулированы около 40 лет назад, до последнего времени гиперболические аттракторы рассматривались скорее как рафинированный образ динамического хаоса, нежели как относящиеся к динамике реальных систем. Было бы интересно иметь примеры аттракторов такого типа в физике, технике, других дисциплинах.

Для построения системы с аттрактором Плыкина [1,2] рассмотрим сначала отображение сферы в себя, заданное последовательностью непрерывных преобразований из четырех периодически повторяющихся стадий. Протяженность одной стадии принята за единицу времени. Роль дырок будут играть окрестности точек A, B, C, D на сфере. Первую стадию определим как сток изображающих точек по параллелям, в направлении от меридианов AB и DC. Вторая стадия – дифференциальное вращение вокруг оси z с угловой скоростью, линейно зависящей от z, так, что точки B и C остаются на месте, а точки A и D меняются местами. Третья и четвертая стадия отличаются от первых двух только пространственной ориентацией – меняются ролями оси x и z. На рисунке преобразования иллюстрируются геометрически, и приведен вид дифференциальных уравнений для каждой стадии.

Интуитивно кажется резонным, что такой поток будет формировать вытянутые волокна с тонкой поперечной структурой, характерной для аттрактора Плыкина. Трансформация состояния за полный цикл описывается отображением

При e=1 итерации этого отображения на компьютере имеют результатом показанный на рисунке аттрактор. Обратим внимание на характерную поперечную фрактальную структуру: объект состоит из полосок, внутри которых имеются полоски следующего уровня и так далее. В непрерывном времени эволюция структуры иллюстрируется роликом.

От представления состояний точками на сфере можно перейти на плоскость, используя стереографическую проекцию, которая дается заменой переменных

За центр проецирования взята точка C, которая не принадлежит аттрактору, так что на плоскости объект расположен в ограниченной области, как показано на рисунке. Если говорить об аттракторе потоковой системы, то он располагается в расширенном фазовом пространстве (X, Y, t). При перемещении секущей плоскости (X,Y) вдоль временной оси имеет место эволюция объекта в сечении, иллюстрируемая роликом. Из этой картинки усматривается суть гиперболической природы аттрактра: в процессе эволюции вдоль волокон все время происходит растяжение, а поперек структуры волокон - сжатие.
Чтобы убедиться в гиперболической природе аттрактора, в расчетах на компьютере проверялся известный из математической литературы критерий конусов (см. рисунок). Согласно этому критерию, в пространстве векторов бесконечно малых возмущений (касательном пространстве) для каждой точки x на аттракторе A должен быть определен конус расширяющихся векторов (розовый) и конус сжимающихся векторов (голубой). При этом образ расширяющегося конуса обязан попадать внутрь расширяющегося конуса точки-образа, а прообраз сжимающегося конуса внутрь сжимающегося конуса точки-прообраза. Расчеты показывают, что при правильном выборе константы расширения и сжатия (больше единицы), требуемые условия выполнены, причем не только на аттракторе, но и в некоторой содержащей аттрактор области.

Учитывая структурную устойчивость гиперболического аттрактора, можно модифицировать систему уравнений в надежде, что это не изменит природу аттрактора. В частности, перейти от коэффициентов кусочно-непрерывных во времени к гладким коэффициентам. Обратимся к следующей системе уравнений, которая выписана в переменных, задающих координаты на плоскости:

Подобрав параметры, например, K=1.9, e=0.72, получаем аттрактор, представленный на рисунке в трехмерном расширенном фазовом пространстве неавтономной системы. В сечении плоскостью t=const можно видеть объект, аналогичный аттрактору рассмотренного выше отображения. Компьютерная проверка критерия конусов для модифицированной системы подтверждает гиперболическую природу аттрактора.

Еще одним свидетельством гиперболичности служит построенная на основе численных расчетов картина расположения многообразий на плоскости (X,Y) в сечении Пуанкаре. Область, содержащая аттрактор, показана светлым тоном, а сам аттрактор зеленым цветом. Неустойчивые многообразия показаны красным и располагаются вдоль волокон аттрактора, а устойчивые, показанные черным, – поперек структуры волокон. Видно, что в области, содержащей аттрактор, характер взаимного расположения многообразий исключает ситуацию касания.

На диаграмме внизу приведены зависимости показателей Ляпунова от одного параметра задачи при другом фиксированном, и указаны интервалы по параметру, в которых, согласно расчетам, аттрактор гиперболический.

Надо подчеркнуть, что это, по-видимому, первый представленный в явном виде пример неавтономной системы с гладкими коэффициентами, имеющей аттрактор Плыкина в сечении Пуанкаре, притом с минимально возможной размерностью фазового пространства. Так как уравнения достаточно громоздкие, естественно спросить, а есть ли реальная возможность получить динамику такого типа в каком-либо физическом устройстве? Это можно сделать на базе системы двух связанных неавтономных осцилляторов, как объясняется далее. (Но размерность фазового пространства получается выше!)