Странный нехаотический аттрактор (СНА) введен в рассмотрение в 1984 г. Гребожи с соавторами применительно к классу диссипативных систем с квазипериодическим внешним воздействием [1]. В отличие от тора-аттрактора, СНА характеризуется фрактальной структурой ("странный"), но в отличие от хаотического аттрактора не имеет экспоненциальной неустойчивости траекторий ("нехаотический"). [См. раздел нашего сайта, специально посвященный СНА.]

Многие детали странной нехаотической динамики остаются недостаточно исследованными. В связи с этим очевидный интерес представляет предложенная Хантом и Оттом модель, допускающая далеко идущий теоретический анализ [2]. Рассмотрим отображение на двумерном торе:

где F(q, f) – некоторая функция периода 2p по обоим аргументам, w – параметр частоты квазипериодического воздействия. В соответствии с аргументацией Ханта и Отта, пока нелинейный член F(q, f) невелик, в этой системе реализуется СНА, обладающий свойством грубости (структурной устойчивости). Сказанное означает, что его устройство нечувствительно по отношению к малым вариациям формы уравнений. Подоплекой этого служит топологическая природа отображения на торе (см. рисунок).

А именно, кривая С, огибающая тор вдоль параллели, трансформируется при воздействии отображения в кривую C', совершающую оборот по меридиану при обходе по параллели. При каждой новой итерации отображения количество витков образа исходной кривой увеличивается на единицу, а в пределе большого числа шагов стремится к бесконечности. В присутствии неоднородности, вносимой добавленным в первое уравнение нелинейным членом, это влечет фрактальную природу распределения инвариантной меры на аттракторе. Вид аттрактора на плоскости переменных q, f при F(q, f)=hsinf, h=0.3 и w=(5^1/2-1)/2 представлен на рисунке справа (показано 10⁵ точек). Благодаря присутствию нелинейного члена, нетривиальный показатель Ляпунова, связанный с переменной f, оказывается отличным от нуля и притом отрицательным, как это и должно быть для СНА. (У представленного аттрактора он равен -0.0242.)

Перейдем к вопросу о реализации странного нехаотического аттрактора Ханта и Отта в физической системе [3]. Рассмотрим два связанных неавтономных генератора Ван-дер-Поля с квазипериодическим внешним воздействием:

Отметим, что собственная частота второго осциллятора вдвое больше. Параметр, ответственный за бифуркацию Андронова-Хопфа в автономных подсистемах, медленно модулируется периодически во времени. Период T полагаем содержащим целое число периодов колебаний индивидуального осциллятора. На одном полупериоде модуляции первый осциллятор находится в режиме генерации, а второй ниже порога генерации. На втором полупериоде наоборот. Далее, первый осциллятор действует на второй через комбинационный член, равный произведению обобщенной координаты x и опорного сигнала на частоте, равной рабочей частоте первого осциллятора. Порождаемая при этом вторая гармоника резонансная для второго осциллятора служит затравкой при переходе к стадии его возбуждения. В свою очередь, второй осциллятор действует на первый посредством произведения переменной y и опорного сигнала на частоте, состоящей с собственной частотой осциллятора в иррациональном отношении w. Возникающий при этом сигнал на разностной частоте служит затравкой для первого осциллятора, когда он вновь начинает генерировать. Режим колебаний в системе носит характер поочередной передачи возбуждения от одного осциллятора к другому. На рисунке показана зависимость от времени для переменных x и y при значениях параметров w=(5^1/2-1)/2, T=6, A=13, e=0.6.

Предположим, что первый осциллятор на стадии генерации совершает колебания с фазой j: x~sin(2pt+j). При умножении на опорный сигнал sin 2pt возникает составляющая на второй гармонике, cos(4pt+j). Далее, когда снова наступает стадия возбуждения первого осциллятора, затравкой для него будет составляющая на разностной частоте, возникшая при умножении этого сигнала и опорного сигнала с фазой q, т.е. первый осциллятор будет совершать колебания с фазой j-q. Учитывая, что за период T переменная q приобретает добавку 2pw, заключаем, что в том приближении, в котором можно доверять приведенным качественным рассуждениям, фазовые переменные подчиняются отображению

что с точностью до замены j на -f соответствует отображению Ханта и Отта при F=0. Имея в виду, что реальные колебания в осцилляторах Ван-дер-Поля не являются строго синусоидальными, и имеются поправки к величине фазы при эстафетной передаче возбуждения, в первом уравнении будет присутcтвовать дополнительный член F(q, f). Пока он не сильно отличается от константы, это не влияет на топологические свойства отображения для фаз. Иллюстрацией служит приведенный ниже рисунок, построенный следующим образом. При численном решении уравнений определяется фаза на стадии возбуждения первого осциллятора j и соответствующее значение переменной q. При попадании j в определенный интервал (шириной 0.04) на график наносится синим цветом точка (q, j) и красным цветом точка, отвечающая образу через период T. Кривая, вдоль которой располагаются синие точки, имеет образом кривую, вдоль которой лежат красные точки. Топология этих кривых, как видно из рисунка, соответствует предположениям модели Ханта и Отта.

Фактически фазовое пространство нашей системы шестимерное. В самом деле, чтобы задать мгновенное состояние, надо указать величины x и y, соответствующие обобщенные скорости dx/dt и dy/dt, момент времени t в пределах периода модуляции, к которому относятся названные переменные, и фазу внешнего воздействия на несоизмеримой частоте q. При описании в терминах стробоскопического сечения Пуанкаре, когда рассматривается последовательность состояний для дискретного набора моментов времени через период T, получаем пятимерное отображение. Одна переменная - фаза q играет особую роль, поскольку подчиняется уравнению, не содержащему других переменных. Свойства этого отображения таковы, что по всем переменным, кроме двух, имеет место сильное сжатие элемента фазового объема. Оставшиеся две переменные как раз соответствуют фазе колебаний и фазе воздействия на несоизмеримой частоте.

На следующем рисунке показан портрет СНА в стробоскопическом сечении на фазовой плоскости первого осциллятора (x, dx/dt) и на плоскости фаз (q, f).

Вторая картинка демонстрирует очевидное сходство с портретом аттрактора для отображения Ханта и Отта. Можно достаточно аккуратно сконструировать для нашей системы связанных невтономных осцилляторов модель типа Ханта и Отта. Это сводится к нахождению функции F(q, f). Учитывая условие периодичности, ее разумно искать в виде разложения в ряд Фурье по двум аргументам. При этом коэффициенты разложения выражаются соответствующими интегралами по периоду. Проводя численное решение уравнений и отслеживая стробоскопическую последовательность q_n, f_n, накапливаем достаточно длинную последовательность F_n= f_n+1-f_n -q_n, которую используем для оценки интегралов, задающих коэффициенты ряда, по методу Монте-Карло. Оказывается, что коэффициенты, отвечающие членам первого и третьего порядка нулевые с точностью до погрешности метода. Оставляя члены нулевого и второго порядка, получаем для искомой функции

На рисунке слева показан график функции, построенный на основе численного решения уравнений, а справа - в соотвествии с приведенной аппроксимирующей формулой.

Наибольший нетривиальный показатель Ляпунова представленного аттрактора (при нормировке времени на период модуляции параметра) составляет согласно численным расчетам -0.024,. Он отрицательный, как это и должно быть для СНА.

Еще одна традиционно привлекаемая для диагностики СНА величина - показатель фазовой чувствительности (см. страницу, посвященную количественным характеристикам СНА). Чтобы его определить, проведем численное решение уравнений системы связанных неавтономных осцилляторов и уравнений, описывающих возмущенную траекторию, отличающуюся малой добавкой к фазе воздействия на несоизмеримой частоте q₀. Показатель фазовой чувствительности определяет закон роста величины максимально наблюдаемого отклонения возмущенной траектории от исходной в зависимости от времени наблюдения NT, а именно, |Dr|~N^m. На графике в двойном логарифмическом масштабе изображаем величину максимального наблюдаемого отклонения в зависимости от времени наблюдения (рисунок слева). Аппроксимируя эту зависимость прямой линией, получаем коэффициент фазовой чувствительности как угловой коэффициент этой прямой. В данном случае в пределах погрешности оценки, имеем m=1.0. (Для тора-аттрактора мы бы получили m=0.)

Странный нехаотический аттрактор грубого типа реализуется в широком диапазоне параметров системы. На рисунке справа представлена зависимость старшего нетривиального ляпуновского показателя системы связанных неавтономных осцилляторов от параметра A при T=6, e=0.6. Топологические свойства отображения для фаз сохраняются в интервале 0<A<A_c, где и существует грубый СНА. Из рисунка можно видеть, как меняется характер зависимости ляпуновского показателя от параметра A при его уменьшении: в области грубого СНА кривая становится гладкой.

ЛИТЕРАТУРА

[1] C. Grebogi, E. Ott, S. Pelikan, J.A. Yorke. Strange attractors that are not chaotic. Physica D: Nonlinear Phenomena, 13, 1984, No 1, 261-268.

[1] B.R. Hunt, E. Ott. Fractal properties of robust strange nonchaotic attractors. Phys. Rev. Lett., 87, 2001, No 25, 254101.

[1] А.Ю.Жалнин, C.П.Кузнецов. О возможности реализации в физической системе странного нехаотического аттрактора Ханта и Отта. ЖТФ, 77, 2007, №4, 10-18.